凯利公式的原理

    凯利公式给出了最优回报与投资比例的关系。在看这个公式我一直有个疑惑，既然输赢率及赔率是固定的，也就是说每局ev是固定的，那收益为什么还和投资比例有关呢？我搜了些网页，似乎没有得到满意的答案，有一种说法是“真实的投资是没有负资本的，也就是必须要有个阈值”，我对此不是很认可，下面来分享下我自己的看法：

    假设单局赢率为p，赔率为a，输率为q，赔率为b。初始资金为A，投资比例为x，那么1局后的总资金为A1=A[(1+ax)^p][(1-bx)^q]，类似地，n局后总资金为An=A[(1+ax)^np][(1-bx)^nq]，接下来对An求导即可得到x的最优值。

    注意看这个总资金，它是一个固定值，但按照题给条件，求出来的应该是一个离散分布。问题就出在这里：凯利公式直接将概率估计成频率，只考虑最中心的情况，而忽略了两端小概率发生，但却对均值有极大影响的情况！

    举个例子，假设一个游戏，赢了翻倍输了输光，对应上面的p=q=0.5，a=b=1，假设玩2局游戏，那么按照凯利公式算出来的结果为（假设初始资金为1，投资比例为x）：A2=1*(1+x)(1-x)=1-x^2，此时，假设投资比例为100%，那么A2=0，也就是说2局之后一定会输光（按照我对凯利公式的理解，当然这个理解不对）

    但是，我们按离散分布算：

25%输2，资金A2=(1-x)^2

25%赢2，资金A2=(1+x)^2

50%输1赢1，资金A2=(1+x)(1-x)

    可以看到，凯利公式对应的就是最后一项，即它只是算了最大可能性的那一项期望，而将前面两项忽略了，如果x=1，那么三项的值分别为0,4,0。可以看到，投资比例为1相当于将所有资金赌在了上限上，虽然大概率输但有极低概率赢得大量的资金。

    考虑到现实的投资，我们肯定不想这么做，肯定想要最高概率的赢钱。而凯利公式做的就是这件事：在保证风险的情况下尽可能提高收益。当然前提是投资本身是+ev的，凯利公式只是将原本波动剧烈的线拉平而已。再举个例子，假设一个游戏的单局收益率是10%，那么：

投资100%就相当于1%+10000，99%+0

投资1%就相当于100% +1

上面代表了两个极端，而凯利公式算出来的结果可能是：

投资10%，99%+80，1%+0，既减小了波动又保证了收益，这就是凯利公式的精髓

    值得说明的是，凯利公式也不是完美的数学公式，只是利用大数定律得到的一个近似解。在具体投资中，不同的要求可能会导出不同的公式。例如要求95%收益，或是要求10%收益但上限足够高，这些情况下又会有不同的最优解。但总体而言，用凯利公式能很好地保证我们在+ev投资环境下收益与风险的平衡