【格物致知·几何】5-7-04应用极坐标求轨迹的方程『数理化自学丛书6677版』

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第七章极坐标 

§7-4应用极坐标求轨迹的方程

【01】有些点的轨迹问题，用直角坐标方法求它的方程有时会遇到困难，不容易得到结果，而在适当地引用极坐标法后，求它的极坐标方程会使问题变得简单些。求轨迹的极坐标方程所用的方法与在直角坐标系里的方法基本上相同，它的步骤是：

1、定坐标：针对具体问题，在平面上建立适当的极坐标系，就是选择适当的点作为极点，再选定极轴的位置；

2、立式：按题意用等式表示轨迹上点 P(ρ，θ) 的性质；

3、化简：化简和整理所得的等式。

【02】今举例如下：

例1.设一个直角三角形的斜边的长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程。

【解】

设直角三角形斜边为 OD，它的长度是 2r  。

今以 O 为极点，OD 所在的射线为极轴，设 P 点是直角顶点的一个位置，假定它的坐标是 (ρ，θ)，则 OP＝ρ，∠xOP＝θ  。

在直角三角形 ODP 中，OP＝OD cosθ，

因为 OP＝ρ，OD＝2r，所以 ρ＝2r cosθ  。

这就是所求轨迹的方程。

【注】

如用7-3节的公式(2)，就可以求得它的直角坐标方程如下：

∵ ρ＝2r·x/ρ，即 ρ²＝2 r x，

∴ x²＋y²－2 r x＝0，

它是一个圆，圆心在 x 轴上，半径是 r  。

例2.定圆直径为 a，圆上一定点 O，过 O 作圆的任意弦 OQ，并延长它到 P 使 QP＝b，求 P 点轨迹的极坐标方程，并作图。

【解】

取 O 点为极点，直径 OA 所在的射线为极轴，设轨迹上任意一点为 P(ρ，θ)，连 OP，则如图7·15，得 ρ＝OP＝OQ＋QP  。

在直角三角形 OAQ 中，OQ＝a cosθ，又 QP＝b，所以 ρ＝a cosθ＋b，这就是所求的轨迹的极坐标方程，它关于极轴为对称。

因为 | ρ | ≤ | a |＋| b |，故曲线在一定范围内。

现在我们设 a＝10，b＝5，具体的轨迹方程就是 ρ＝10 cosθ＋5  。

列表：

图7·15是本题的曲线，我们叫它为蜗线，它的直角坐标方程是 (x²＋y²－ax)²＝b²(x²＋y²)  。

【注】蜗线有三种情况，上面是 a＞b 的情况。如 a＜b 时，曲线不经过极点。又 a＝b 时，曲线没有里面的小圈，形如心脏，故叫它是心脏线（见7-2节例2）。

例3.今有一定点 O 及一定直线 HK，它们相距为 a，从定点 O 向定直线 HK 作任意一射线 OQ，交定直线 HK 于一点 Q，在射线 OQ 上取 P 点使 QP＝b，求 P 点的轨迹。

【解】

取定点 O 为极点，使极轴垂直于定直线 HK，交它于 D 点，则 OD＝a  。

设 P(ρ，θ) 为轨迹上的任意一点，

则 ∠xOP＝θ，ρ＝OP＝OQ＋QP  。

今 OQ＝a secθ，QP＝b，

∴ ρ＝a secθ＋b  。

这就是所求的轨迹方程，它的曲线如图7·16，叫做蚌线。

【注1】如用7-3节的公式(2)，可以求出它的直角坐标方程是 (x²＋y²)(x－a)²＝b²x²  。

【注2】ρ＝a secθ＋b 包括 ρ＝a secθ－b 的情形在内，因为两者的图形是完全相同的。

【注3】上面的曲线是当 a＜b 时的情况。设 a＝b，则在 HK 左面的一支曲线的尖顶在极点上，不绕小圈。又在 a＞b 时，曲线不经过极点，两支均在极点的一面，亦不绕小圈。

【注4】

利用蚌线可三等分一个任意角，作法如下：

设有一角为 ∠xOC，今以角顶为极点，又使极轴通过一边 Ox，今垂直于 Ox 作一直线 HK，交它于 G，设 OG＝a，又 HK 交 OC 于A，今 OA＝a sec(∠xOC)，可见 OA 为定长，今设 2(OA)＝b，作曲线（蚌线）ρ＝a secθ＋b，它右边的一支如图7·17  。

从 A 作 Ox 的平行线交曲线于 B 点，连 OB，则 ∠xOB＝(1/3)∠xOC，所以 OB 是 ∠xOC 的三等分角线的一条。理由很明显，因为图上 OB 交 HK 于 E，设 F 是 EB 线段的中点，所以在直角三角形 EAB 中 AF＝(1/2)EB＝FB，

但从曲线性质 EB＝b＝2(OA)，

∴ AF＝FB＝OA  。

在 △FAB 中，∠FBA＝∠FAB，但 ∠FBA＝∠xOB（因 AB∥Ox）；

又在 △OFA 中，∠AOF＝∠AFO＝∠FBA＋∠FAB＝2∠FBA＝2∠xOB，所以 ∠xOB＝(1/3)(∠xOC)  。