【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第二章导数和微分——导数概念 

§2-2导数

【01】从上节的讨论可以看出，当物体作匀速直线运动时，我们可以直接根据位移和时间的比值来求速度；当物体的位移随着时间的改变可能是非均匀变化时，要研究在某一时刻物体运动的快慢，就需要引进瞬时速度，也就是位移函数对时间的瞬时变化率（简称变化率）的概念。在自然科学和工程技术中，经常遇到非均匀变化的问题，例如化学反应速度、物体温度变化速度、放射物质的蜕变速度、电流强度等等。因此，撇开具体实际意义，一般地从数量关系上来研究函数的变化率，将对很多实际问题的解决具有普遍意义。为此，我们引进一个新的数学概念——导数。

【02】设函数 y＝f(x) 在点 x＝x₀ 及其附近有定义。当自变量 x 在 x₀ 处有改变量 △x（△x 可正可负），则函数 y 相应地有改变量 △y＝f(x₀＋△x)－f(x₀)  。

【03】这两个改变量的比 ，

【04】叫做函数 y＝f(x) 在 x₀ 到 x₀＋△x 之间的平均变化率。

【05】如果当 △x→0 时，△y／△x 有极限，我们就说函数 y＝f(x) 在点 x₀ 处可导，并把这一极限叫做 f(x) 在点 x₀ 处的导数（或变化率），记作 f'(x₀) 或 y'|x＝x₀，即

  。    (1)

【06】因此，函数 f(x) 在点 x₀ 处的导数就是函数的平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限 f'(x)，它反映了函数 f(x) 在点 x₀ 处变化的“速度”。

【07】如果上述极限不存在，我们就说函数 f(x) 在点 x₀ 处不可导或导数不存在。

【08】根据导数的定义，解时速度就是位移函数 s(t) 对时间 t 的导数，自由落体在 t＝3秒 时的速度就是 s＝(1/2)gt² 在点 t＝3 处的导数。即

  。

【09】由导数的定义，直接得出求函数 f(x) 在点 x₀ 处的导数的方法：

例1.求 y＝x² 在点 x＝1 处的导数。

【解】

【10】如果函数 f(x) 在开区间 (a，b) 内每一点处都可导，就说 f(x) 在开区间 (a，b) 内可导。这时，对于开区间 (a，b) 内每一个确定的值 x₀，都对应着一个确定的导数 f'(x₀)，这样就在开区间 (a，b) 内，构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 的导函数，记为 f'(x) 或y'（有必要指明自变量 x 时记作）。根据导数的定义，就可得出导函数

  。    (2)

【11】导函数也简称为导数。今后，如不特别指明求某一·点处的导数，求导数就是指求导函数。但要注意，函数 y＝f(x) 的导函数 f'(x) 与函数 y＝f(x) 在点 x₀ 处的导数是有区别的，f'(x) 是 x 的函数，而 f'(x) 是一个数值；但它们又是有联系的，f(x) 在点 x₀ 处的导数 f'(x₀) 就是导函数 f'(x) 在点 x₀ 处的函数值。

【12】这样，如果知道了导函数 f'(x)，要求 f(x) 在点 x₀ 处的导数，只要把 x＝x₀ 代入 f'(x) 中去求函数值就可以了。

例2.已知 y＝x³－2x＋1，求 y'，并求在点 x＝2 处的导数。

【解】

例3.已知 y＝√x，求 y'  。

【解】

练习

1、求下列函数在指定点处的导数：

(1) y＝x³，点 x＝0；

(2) y＝2/x，点 x＝1  。

2、已知一物体作直线运动，运动方程为 s＝4t²(米)，求：

(1) t 秒时的瞬时速度；

(2) t＝3秒、t＝5秒、t＝8秒 时的瞬时速度。

3、已知 y＝√(x＋4)，求 y'，并求在点 x＝5 处的导数。