【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

内容提要

本书主要内容包括直线和圆锥曲线的各种方程与性质，以及坐标变换、极坐标和参数方程，同时简单地介绍了在生产劳动中应用较多的经验公式。本书讲解较详，系统性强，有大量例题和习题，注解与提示较多。可供具有平面几何、代数方程和平面三角的初步知识的读者阅读。书中加有“*”号的段落、章节和习题，都是比较难的，初学时如有困难，可暂时略去。本书主要读者对象是青年工人、知识青年、在职干部，也可供中学教师参考。

总复习题

1、

(1) 在曲线的方程 f(x，y)＝0 中，如以 y 代 x，同时以 x 代 y 时方程不变，证明曲线是关于直线 y＝x 对称的，并写出两个关于直线 y＝x 对称的曲线的方程的例子。

(2) 如果曲线关于直线 y＝－x 对称时，说明这个曲线的方程的性质，并举一个关于直线 y＝－x 对称的曲线的方程的例子。

2、证明连结 A(－4，0)，B(12，2) 两点的直线的垂直平分线必经过 P(5，－7) 点。

3、已知一个矩形的三个顶点分别是 A(2，2)，B(4，6)，C(6，5)，求

(1) 它的第四个顶点 D 的坐标；

(2) 矩形的面积；

(3) 对角线的长；

(4) 对角线的交点 M  。

4、求证以 (x₁，y₁)，(x₂，y₂) 和 (x₃，y₃) 为顶点的三角形的三条高所在的直线的方程是

(x－x₁)(x₂－x₃)＋(y－y₁)(y₂－y₃)＝0，

(x－x₂)(x₃－x₁)＋(y－y₂)(y₃－y₁)＝0，

(x－x₃)(x₁－x₂)＋(y－y₃)(y₁－y₂)＝0  。

[提示：应用直线的点斜式 ]

5、用解析法证明：

(1) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离的和等于一腰上高的长。[提示：取底边所在的直线为 x 轴，底边上的高为 y 轴 ]

(2) 等边三角形内任意一点到各边的距离的和是一个常数。

6、设 P 点与 A(4，－3)，B(2，－1) 两点的距离相等，并且到直线 4x＋3y－2＝0 的距离等于 2，求 P 点的坐标。[提示：求两轨迹的交点 ]

7、两直线 (3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0 和 (5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0，当参数 a 为何值时，互相垂直？

8、求适合下列条件的直线方程：

(1) 经过点 P(3，2)，并且在两轴上的截距的绝对值相等；

(2) 经过两直线 2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0 的交点，并且和点 P(2，－1) 的距离等于 5 个长度单位；

(3) 在 y 轴上的截距是－2，并和直线 x＋y＝0 的夹角是 135°；

(4) 经过两直线 3x＋2y－6＝0 和 4x－3y－12＝0 的交点，并且和两坐标轴所围成的三角形的面积是 3  。

9、已知三条直线 ax＋by＋1＝0，2x－3y＋5＝0，x－1＝0 相交于一点，求 a，b 之间的关系式。

10、设 A，B，C 不同时等于 0，证明方程 Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0，

(1) 表示两条直线的条件是

；[提示：设 A≠0，就 x 解方程 ]

(2) 所表示的两条直线的夹角是

（设 B²－4AC＞0）。

[提示：

设 (ax＋by＋c)(a'x＋b'y＋c')＝Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F，

得 aa'＝A，ab'＋a'b＝B，bb'＝C，

又 tgφ＝(ab'－a'b)／(aa'＋bb')，

]

11、已知三角形的三个顶点是 A(12，48°)，B(10，108°) 和 C(9，18°)  。求它的面积。[提示：应用公式 S＝(1/2)ab sinC ]

12、已知 A，B，C 的极坐标分别是 (5，π/2)，(8，5π/6) 和 (3，7π/6)，

(1) 求 A，B，C 各点的直角坐标；

(2) 用两种方法（在直角坐标系和极坐标系下）证明 △ABC 是等边三角形。

13、已知 A(0，1)，B(1，0)，C(2，1) 是三角形 ABC 的三个顶点，求它的外接圆的方程，外心的坐标和半径的长。

14、求证以定点 P₁(x₁，y₁) 和 P₂(x₂，y₂) 为直径两端点的圆的方程是 (x－x₁)(x－x₂)＋(y－y₁)(y－y₂)＝0  。[提示：设 P(x，y) 是圆上的任一点，则 kPP₁·kPP₂＝－1 ]

15、求以 C(5，4) 为圆心，并且外切于圆 x²＋y²－4x－5＝0 的圆的方程。[提示：二圆半径的和等于它们的连心线的长 ]

16、设三个圆 x²＋y²＋Dix＋Eiy＋Fi＝0（i＝1，2，3）两两相交，证明每两圆的公共弦（有三条）共点。

17、设以 C₁(a₁，b₁) 和 C₂(a₂，b₂) 为圆心，r₁ 和 r₂ 为半径的两个圆有公共点 P，证明

  。（∠C₁PC₂ 叫做两圆的交角，当 ∠C₁PC₂＝π 时，两圆外切，当 ∠C₁PC₂＝0 时，两圆内切，又当 ∠C₁PC₂＝π/2 时，这两圆称为直交）

[提示：先写出两圆的标准方程，然后用余弦定理证明 ]

18、

(1) 从原点向圆 (x－8)²＋y²＝64 作弦，求这些弦的中点的轨迹的方程；

(2) P(x，y) 到 P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂) 两个定点的距离的比是一个正数 m，求 P 点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形（考虑 m＝1 或 m≠1 两种情况）。

19、如果三角形 ABC 有两个顶点是 A(6，0) 和 B(－6，0)，第三个顶点 C(x，y) 的轨迹的方程是 x²＋y²＝36，求这个三角形的重心的轨迹。[提示：设重心为 G(x'，y') 则 OG＝(1/3)OC，… ]

20、

(1) 一动点 P(x，y) 把圆 x²＋y²＝25 上各点的纵坐标分成 2:3，求这动点的轨迹的方程；[提示：设相应 P 点在圆上为 Q(x'，y') 则 x＝x'，y＝(3/5)y'，∴ x'＝x，y'＝(5/3)y 代入圆方程… ]

(2) P'(x'，y') 点在圆 x²＋y²＝a² 上移动，P 点和 P' 点的横坐标相同，它们的纵坐标之比是 b:a（a＞b＞0），求证 P 点的轨迹是椭圆 b²x²＋a²y²＝a²b²  。[提示：y/y'＝b/a，把 y'＝(a/b)y 和 x'＝x 代入 x'²＋y'²＝a² 即得 ]

(3) 经过圆 x²＋y²＝a² 和椭圆 x²/a²＋y/²b²＝1 上横坐标相同的各点作坐标轴的平行线分别如图所示的一系列的矩形：

① 证明属于椭圆和属于圆的相应的矩形的面积之比是 b:a  。[提示：根据第20(2)题的结果 ]

② 证明椭圆的面积是S＝πab  。[提示：圆和椭圆的面积，可以看成是相应的矩形（矩形数增至无限时）面积的和的极限，在极限情况下，椭圆的面积与圆的面积之比也是 b:a，但圆的面积是 πa²，由此可证得椭圆的面积是 S＝πab ]

(4) 根据第20(3)题的结果，求下列各椭圆的面积：

① 4x²＋9y²＝36；

② x²＋2y²＝12；

③ x²/16＋y²/4＝k；

④ 45x²＋20y²＝k  。

21、已知经过 P(5，－1) 点的椭圆的两个焦点是 F₁(2，3) 和 F₂(2，－5)  。求这个椭圆的方程。

22、菱形的边长是 5，高是 4.8，以它的两个相对的顶点为椭圆的两个顶点，另两个相对的顶点为焦点，用菱形的对角线作坐标轴（取长的对角线为 x 轴），求这个椭圆的方程。[提示：设菱形为 PRQS，今对角线 PQ＞RS  。P，Q 在 x 轴上。作 OK⊥PR  。则 OK＝12  。今 OP²＋OR²＝25，又 OP·OR＝5×2.4＝12  。故 OP＝4，OR＝3  。先以 P，Q 为两焦点，可求得一个椭圆，又以 R，S 为两焦点又可求得一个椭圆 ]

23、地球的子午线是一个椭圆，长轴和短轴的差与长轴的比（即 (a－b)/a）等于 1/300，求它的离心率。

]

24、从椭圆的短轴的一端看两焦点间的线段所成的视角是直角，求这个椭圆的离心率。

25*、求与两定圆 C₁：x²＋y²＝4，C₂：x²＋y²－12x－64＝0 相切的圆的圆心的轨迹，并说明轨迹是什么曲线（要求作图）。[提示：r₁＝2，r₂＝10，设 C₁，C₂ 是二圆的圆心，又设 P(x，y) 是轨迹上的任一点，则 r₂－| C₂P |＝| PC₁ |－r₁ ]

26、证明：

(1) 从双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长；

(2) k 是不等于零的实数，两直线 bx＋ay＝k 和 bx－ay＝1/k 的交点必定在一双曲线上。[提示：消去 k，可得一双曲线方程 ]

27、设 e₁ 和 e₂ 分别是双曲线 x²/a²－y²/b²＝1 和 x²/b²－y²/a²＝1 的离心率，证明 e₁²＋e₂²＝e₁²·e₂²  。[提示：e₁＝c/a，e₂＝c/b，又 a²＋b²＝c² ]

28、求下列双曲线的离心率：

(1) 渐近线间的夹角是 60°；

(2) 从焦点看双曲线虚轴的线段，视角为 60°  。

29、

(1) 已知双曲线的离心率 e＝2，求它的两条渐近线间的夹角；

(2) 已知双曲线的两条准线间的距离的 4 倍等于焦距，求它的离心率。[提示：准线间的距离是 2a²/c ]

30*、证明：

(1) 经过双曲线上任何一点，分别作平行于渐近线的两条直线，这两条直线与两条渐近线所围成的平行四边形的面积是一个常数；[提示：这个常数是 (1/2)ab ]

(2) 双曲线的任何一条切线，与两条渐近线所围成的三角形的面积是一个常数。[提示：这个常数是 ab ]

31、已知双曲线准线间的距离等于 6，焦距等于 10，求双曲线的方程。

32、求以原点为一个焦点，直线 3x＋4y－12＝0 为准线，离心率为 3 的双曲线的方程。

33、在双曲线上可否作任何方向的切线？如果不可能，那末这双曲线的切线的斜率应有什么限制？

34、已知双曲线的渐近线方程是 y＝±(1/2)x，它有一条切线是 5x－6y－8＝0，求这双曲线的方程。

35、一只探照灯的凹面镜边缘的直径是 0.8 米，深度是 0.3 米，求它的焦点的位置。

36、抛物线的顶点在 y 轴上，它的对称轴平行于 x 轴，且通过 (1/2，3) 和 (2，4) 两点，求这抛物线的方程。[提示：设 (y－b)²＝2px，求 b，p ]

37*、证明：

(1) 抛物线上任意一点到它的对称轴的距离是这点在轴上的射影至顶点的距离和通径的比例中项。[提示：通径＝2p ]

(2) 抛物线 y²＝2px 的任何切线截 x 轴负方向的线段等于切点的横坐标，而截 y 轴上的线段等于切点的纵坐标的一半。

(3) 抛物线的对称轴与它的准线相交于 A，抛物线的通径的两个端点是 B 和 C，则 BA⊥CA  。

38、

(1) 求抛物线 y²＝2px 上各点的纵坐标的中点的轨迹；

(2) 求抛物线 y²＝2px 上各点的焦点半径的中点的轨迹。

39、证明

(1) 椭圆 x²/a²＋y²/b²＝1 上任意一点 P₀(x₀，y₀) 的两条焦点半径的长是 a±ex₀；

(2) 双曲线 x²/a²－y²/b²＝1 上任意一点 P₀(x₀，y₀) 的两条焦点半径的长是 ex₀±a；

(3) 抛物线 y²＝2px 上任意一点 P₀(x₀，y₀) 的焦点半径的长是 x₀＋p/2  。

40、设在椭圆上任意一点 P₁(x₁，y₁) 的切线与椭圆在长轴的两端 A' 和 A 上的切线相交于 Q' 和 Q，求证积 A'Q'·AQ 是一个定值。

[提示：

设 P₁ 的坐标为 x₁＝a cosθ，y₁＝b sinθ，

则过 P₁ 的切线是 bx cosθ＋ay sinθ＝ab  。

当 x＝a，AQ 的长是 y₂＝b(1－cosθ)／sinθ，

x＝－a，A'Q' 的长是 y'₂＝b(1＋cosθ)／sinθ，…]

41、用移轴和转轴来化简下列各二元二次方程，并且(1)作图；(2)求出新坐标轴对于旧坐标系的方程：

(1) 6x²－4xy＋3y²＋4x＋12y＋5＝0；[提示：把原点移 (－9/7，－20/7)，又 ctg2θ＝－3/4 ]

(2) 8x²＋12xy＋3y²－8x＋5＝0；[提示：把原点移至 (－1，2)，tg2θ＝12/5 ]

(3) 9x²＋24xy＋16y²＋30x－210y＋975＝0；[提示：以 tgθ＝4/3 的锐角旋转坐标轴 ]

(4) 18x²－12xy＋2y²－21x＋7y－15－0；

(5) 9x²－30xy＋25y²＋12x－20y＋4＝0  。

42、

(1) 试从直线方程 (y－y₁)／(x－x₁)＝tgα 求出它的参数方程（α 为参数）；

(2) 求圆 (x－x₁)²＋(y－y₁)²＝r² 的参数方程（令 x＝x₁＋rcosθ，α 是参数）。

中，

(1) 如 ρ 为定值，θ 为参数；

(2) 如 θ 为定值，ρ 为参数时；它的曲线是什么？

44、画出下列各极坐标方程的图象，并把它们化成直角坐标系方程：

(1) ρ＝6／(2－cosθ)；

(2) ρ＝2sinθ＋3cosθ  。

45*、经过圆锥曲线的焦点：

(1) 经过圆锥曲线的焦点 F 作任意的弦 P₁P₂，求证 1／| FP₁ |＋1／| FP₂ | 是一个定值。

(2) 任意作两条互相垂直的弦，设它们的长分别是 l₁ 和 l₂，求证 1/l₁＋1/l₂ 是一个定值。

[提示：

设圆维曲线的极坐标方程是 ρ＝p／(1－ecosθ)（以焦点为极点，焦点向准线所作的垂线为极轴），则过焦点而与极轴成 θ 角的弦的长是

]

46*、设双曲线的极坐标方程是 ρ＝ep／(1－ecosθ)，求证它的渐近线的倾角是 arccos(±1/e)，又渐近线的夹角是 arccos[(2－e²)/e²]  。

47、有一物体在平地上以初速 V₀米/秒 和水平线成 α 角向上抛出：

(1) 以出发点为原点，水平方向为 x 轴，求物体所经过的轨迹的方程；

(2) 求物体达到的最大高度；

(3) 求物体的射程（即出发点到落地点的距离）；

(4) 如初速固定，求证当 α＝45° 时，物体的射程最大。

[提示：参考第六章6-1节例2 ]

48*、如果一个动圆沿着半径大一倍的一个圆的内面无滑动地滚动，证明动圆上的一点的轨迹是大圆的一条直径。[提示：参考第六章习题6-5~6-6第11题 ]

49*、

(1) 半径是 r 的一个圆，沿着一直线无滑动地滚动，半径上有一点 P，并且 P 点到圆心的距离是 a（a＜r），求 P 点的轨迹的方程。

(2) 上题中，如 P 点在圆的半径的延长线上（即 a＞r）时，P 点的轨迹如何？[提示：参考第六章6-5节的例2 ]

50*、在一个直角坐标系中，把 x 轴和 y 轴分别旋转至新的位置，使新 x 轴（称它为 x' 轴）与 x 轴成角 θ，同时使新 y 轴（称它为 y' 轴）与 x 轴成角 Φ  。对同一点的坐标的变换公式是

(1) 若 Φ＝π/2＋θ 时，上面的变换公式是什么？

(2) 若 θ＝0 时，变换公式是什么？

(3) 在直角坐标系中一个双曲线的方程是 b²x²－a²y²＝a²b²，今以它的两条渐近线为新轴时，它的新方程是什么？

[提示：

(1) Φ＝π/2＋θ 时，两新轴的夹角是直角。所得的变换公式是第五章里的转轴公式。

(2) 这是一般的由直角坐标变换为斜坐标的变换公式（假定新、旧 x 轴重合，而两新轴的夹角是 Φ）。

(3) 因为 tgθ＝b/a，tgΦ＝－b/a，且 θ 在第Ⅰ象限，Φ 在第Ⅱ象限。

所以

把这四个式子代入双曲线方程…]

【

】