数量关系难点解读（13）「排列组合概率题」的正确率基本都不高

【2024国考，正确率40%】甲、乙等36人分为6个小组参加某项活动，要求任意2组人数不同，每个组都不少于3人，且任何一组人数不得超过另一组的3倍。

甲和乙至少有1人分到人数第二多的小组的概率为多少？
（A）20%
（B）25%
（C）30%
（D）40%

本题非常简短也没什么陷阱，一眼可看出解题思路和「排列组合+概率」有关。分析题干的条件：

36人分6个小组：（如果没有其他条件限制，则第一时间想到）平均每组6人
每组人不同，且≥3：结合「平均每组6人」，直接按「6-3，6-2……6+3」来分组，即每组人数分别为：3、4、5、7、8、9
任何一组人数不得超过另一组的3倍：上述分组后，最少为3人，最多为9人，恰好3×3=9，符合要求

「甲和乙至少有1人分到人数第二多的小组」，就是分到「人数为8的组」，计算公式为：

总概率=甲在8人组概率+甲不在8人组且乙在8人组的概率

甲在8人组概率=8/36=2/9
甲不在8人组的概率=28/36=7/9
甲不在8人组时，乙在8人组的概率=8/35

「甲不在8人组且乙在8人组的概率」
=7/9×8/35
=1/9×8/5
=8/45

总概率
=2/9+8/45
=10/45+8/45
=18/45=2/5=40%，D选项正确。

这道题的难点有两个。

一是「36人分6个小组，每组人不同，人最少×3≥人最多」这个问法比较少见

如果没怎么遇到此类题型，那就会第一时间反应不过来，甚至会一个个去试不同的数字，导致效率较低。

此处还是和「熟能生巧」相关。如果每组人数相同，那自然是6人一组；如果每组人数都不同，那就要根据「是奇数或者偶数」来快速反应。

如果是奇数，比如「5组」，那第一反应就是围绕6且包括6，前后各「±2」，即「4、5、6、7、8」这5组。

本题是偶数组「6组」，那就是「围绕6且不包括6」，即上面解析中的「3、4、5、7、8、9」这6组，随后代入「3×3不小于9」这个环节验证即可。

这种「分组和人数」都要下意识想到，根本不需要也不必要去纸笔运算。如果小伙伴还做不到这一点，就要多锻炼了。

二是「2个人至少有1人分到某组的概率」如何运算

有不少小伙伴看到这个问法后，第一时间想到的是「甲在乙不在」「甲不在乙在」「甲乙都在」3种情况，这是惯性思维，其实本题不需要这么复杂。

分析后不难发现，本题可简单分为「甲在8人组」和「甲不在8人组」，如果「甲在8人组」，那乙在不在都符合要求，根本不需要进一步分析，直接把这个「8/36」写上即可。

而如果「甲不在8人组」，则「乙必须在8人组」。甲不在8人组的概率是28/36，此时还有35人，即乙在8人组的概率为「8/35」，代入计算就能解出最终答案。

「排列组合概率题」的正确率基本都不高，原因在于很多考生会将其计算公式弄混，即使没有弄混，也会因为选错了思路而多花时间。

本题的两个「难点」其实严格来说并不算太难，不同人数的分组可以通过练习一眼看出，「2个人至少有1人分到某组的概率」也不用分得太细就可算出，关键是要熟练掌握。只有对此类题型非常熟悉，才能第一时间锁定正确思路，从而又快又准做出。