前言

国庆放假终于有空了，但笔者学识浅薄实在没什么新活可以整，因此就翻了翻草稿箱把“存货”处理掉。这篇文章是暑假时存留下来的，当时由于小破绽出了亿点故障导致大篇幅内容丢失，只好重新写了。于是这篇文章而言就是二创，内容和质量是不如首创的了，因此这里不少地方就删繁就简处理吧，尽量保留首创时的热度~

类型一：过圆内一点的直线

如图，已知圆O内有一定点P，过P作直线与圆O交于A,B两点，求弦长AB的取值范围？

这个题是比较经典的，不少人的“直觉”也靠得住。但数学是追求严谨的，这题而言完全可以从原理上进行定性判断和定量计算。

遇到直线与圆的位置关系，毫无疑问是要将两交点与圆心相连构造等腰三角形：

如图，连接OA,OB，过O作AB垂线，垂足为H

则OA=OB=r，由等腰三角形“三线合一”的性质知，H为AB中点

ps:等腰三角形的“三线合一”：底边中线、底边高、顶角平分线三者重合，用初中的全等知识即可证明

进而在Rt△AOH中由勾股定理得：

其中r为圆的半径，d为弦心距，l为弦长

这一关系式对于所有(圆与直线相交)的情形都是成立的

的取值范围，就可以转化为求d的取值范围！

这是一步朴素而又关键的转化，把求弦长转化为了求弦心距。因此接下来盯着弦心距d来看就好了

，也即圆心O到直线AB的距离

d的最小值显然为0(也即AB经过圆心O时)，此时弦长l取得最大值2r

的最小值，也即求d的最大值：

我们还知道，P是直线AB上的点，并且点到直线距离就是该点到直线上任意一点距离的最小值。因此就有：

，这就求出了d的最大值

当且仅当H与P重合，也即OP⊥AB时等号成立

瞧，这一步垂直是经过上述的逐步分析得出来的，把求l转化为求d是最关键的一步！

几何意义如下：

如上图gif所示，当H与P重合时，d=OP；

当H与P不重合时，在Rt△OHP中，OH充当直角边，OP充当斜边；故d<OP；

综上，d≤OP，当且仅当H与P重合(即OP⊥AB)时等号成立

当且仅当直线与OP垂直时取得最小值；直线经过圆心时取得最大值。

有了这一经典的模型作铺垫，下面我们将其拓展到三维来玩玩~

为啥要拓展，问就是立体几何的小题就出过这种拓展，因此不仅是研究价值，应试价值也是具备的

类型二：过球内一点的平面

类比直线与圆的位置关系的处理，平面与球的位置关系也是类似的

如上图所示，任取交线上一点Q，连接OQ。过O作平面的垂线，垂足为H

在Rt△OHQ中由勾股定理得：

其中OQ和OH是已知的，因此HQ也是确定的。这说明Q点轨迹是平面上以H为圆心，HQ为半径的圆。

其中R为球的半径，d为球心到平面距离，r为截面圆的半径

这一关系式对于所有(球与平面相交)的情形都是成立的

回到此题，本题中R已知，因此要求截面面积的取值范围，先要求出截面圆半径r的取值范围，就可以转化为求d的取值范围！

这是一步朴素而又关键的转化，把求截面圆半径转化为了求球心到平面距离。因此接下来盯着d看就好了

，也即球O到平面的距离

d的最小值显然为0(也即平面经过球心O时)，此时截面半径r取得最大值R

接下来再求r的最小值，也即求d的最大值：

我们还知道，P是平面上的点，并且点到平面距离就是该点到平面上任意一点距离的最小值。因此就有：

，这就求出了d的最大值

当且仅当H与P重合，也即OP⊥平面时等号成立

几何意义如下：

如上图gif所示，当H与P重合时，d=OP；

当H与P不重合时，在Rt△OHP中，OH充当直角边，OP充当斜边；故d<OP；

综上，d≤OP，当且仅当H与P重合(即OP⊥平面)时等号成立

当且仅当平面与OP垂直时取得最小值；平面经过球心时取得最大值。

即可求得截面面积的取值范围

类型三：绕一定直线(穿过球内部)旋转的平面

转化为求d的取值范围！

如图，过O作平面的垂线，垂足为H；过O作直线的垂线，垂足为P

d的最小值显然为0(也即平面经过球心O时)，此时截面半径r取得最大值R

接下来再求r的最小值，也即求d的最大值：

我们还知道，P是平面上的点，并且点到平面距离就是该点到平面上任意一点距离的最小值。因此就有：

，这就求出了d的最大值

当且仅当H与P重合，也即OP⊥平面时等号成立

几何意义如下：

如上图gif所示，当H与P重合时，d=OP；

当H与P不重合时，在Rt△OHP中，OH充当直角边，OP充当斜边；故d<OP；

综上，d≤OP，当且仅当H与P重合时等号成立，此时OP垂直于平面

当且仅当平面与OP垂直时取得最小值；平面经过球心时取得最大值。

即可求得截面面积的取值范围

最后来讲讲如何求OP，也即球心O到直线的距离，这里有两种方法。

法一：向量点积+勾股定理

如图，已知直线外一点为A，直线上一点为B，直线的方向向量为u，求点A到空间直线的距离？

即为向量BA在向量u上的投影的绝对值，几何意义也即下图中BA'的长度：

在Rt△AA'B中由勾股定理得：

也就求出了点A到空间直线的距离

法二：向量叉积

这个方法在高中是超纲的，只能在小题里用。计算时得用到行列式，感兴趣者可自己搜索相关资料，这里只展示其应用

(叉积的模)等于以为邻边张成的平行四边形的面积

练习题

例(1)：

由题意知，这个三棱锥就是两块“等边三角形板”垂直放置拼起来的，考虑在BD中点建立如下的坐标系：

ps:面BCD即面xOy，面ABD即面xOz

各顶点坐标：

下面求球心坐标

过O₁作xOy平面的垂线，过O₂作xOz平面的垂线，二者的交点即为球心O₃

接下来的操作：

这就是前文的类型二啦，由相应的结论知，当O3M垂直于平面时，截面半径r最小，此时有：

相应的图大致如下：

这个图是不需要完全想出来的，你甭管它在什么方位，总而言之调整到适当的视角后总会是前面3种类型里的图

例(2)：

温馨提示：这题大部分都是皮囊的边角料计算，需要耐心些处理。这题看选项的数据就知道这题计算量不小，模拟题味很重，着重领会思路即可

由于涉及旋转，因此选择让转轴作为坐标轴方便处理，于是以底面正方形的几何中心为原点，建系如下：

高度还未知，设为h，则原长方体各顶点坐标：

旋转后上底面各顶点坐标：

得：

得：

下面再求外接球坐标：

易知，过正方形ABCD几何中心作垂线与过正方形EFGH几何中心作垂线相重合，即z轴，因此球心坐标就在两平面所夹线段的中点处，即得球心坐标：

费尽周折，这时可算把所有点坐标求出来了~

再看接下来的操作：

这就是前文中类型三的操作啦。由相应的结论，有：

过O₁作EP的垂线，垂足为H，则当平面与OH垂直时，半径r取得最小值。

，也即球心O₁到直线EP的距离

为直线EP的一个方向向量

沟槽的题目计算量还是有点大呀，早知道不选这一题了(

其实繁琐的计算相对还是次要些的，思路保持清晰就行

进而由类型三推导出的结论：

求得：

大致图如下：

总结

此篇文章主要分享了考察直线与圆/平面与球位置关系的一类小题，

，球中的这两个等式是基础又是核心，着重掌握转化的这个思路即可破解此类最值问题。

最后祝各位国庆愉快~