【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅴ.抛物线 

§4-16抛物线方程的其他一些形式

1、

【01】上面的抛物线方程 y²＝2px 是建立在这样的坐标系下推导出来的，即以原点为顶点，以 x 轴为对称轴，焦点在 x 轴的正半轴上，所以焦点是 F(p/2，0)，准线是 x＝－p/2（图4·51(a)），抛物线的张口向右，图形全在 y 轴的右侧。

2、

【02】当然，如果以原点为顶点，以 x 轴为对称轴，焦点在 x 轴的负半轴上（图4·51(b)），那末焦点就是 F(－p/2，0)，准线就是 x＝p/2，抛物线的方程就是 y²＝－2px  。这是因为 p＞0，x≤0，－2px≥0，抛物线 y²＝－2px 的张口向左，图形全在 y 轴的左侧。

例1.求抛物线 y²＝－3x 的焦点和准线。

【解】

把抛物线程写成标准形式，得 y²＝(－2)·(3/2)x  。

所以 p＝3/2，p/2＝3/4，焦点是 F(－3/4，0)，准线是 x＝3/4  。

【注】别把方程写成 y²＝2·(－2/3)x，而错误得出 p＝－3/2，这是因为 p 恒为正值的缘故。

3、

【03】同样的道理，如果以原点为顶点，以 y 轴为对称轴，焦点在 y 轴的正半轴上（图4·51(c)），那末焦点就是 F(0，p/2)，推线就是 y＝－p/2，抛物线的方程就是 x²＝2py，p＞0，y≥0，抛物线的张口向上，图形全部在 x 轴的上方。

【注】如果把方程写成 y＝(1/2p)x²，且令 1/2p＝a，就得到 y＝ax²，因为 p＞0，所以 a＞0，这是代数里所学过的二次函数，它的图象就是(c)，可以看出，它们是完全一致的。

例2.求抛物线 y＝(1/3)x² 的焦点和准线。

【解】

把抛物线方程写成标准形式，得 x²＝3y，即 x²＝2·(3/2)y  。

所以 p＝3/2，p/2＝3/4，焦点是 F(0，3/4)，准线是 y＝－3/4  。

【注】由于焦点的位置在 y 轴上，别把焦点的坐标错误地写成 (3/4，0)，也别把准线写成 x＝－3/4  。

4、

【04】如果以原点为顶点，以 y 轴为对称轴，焦点在 y 轴的负半轴上（图4·51(d)），那未焦点就是 F(0，－p/2)，准线就是 y＝p/2，抛物线的方程就是 x²＝－2py，p＞0，y≤0，抛物线的张口向下，图形全部在 x 轴的下方。

例3.求抛物线 x²＝－4y 的焦点和准线。

【解】

把抛物线方程写成标准形式，得 x²＝(－2)·2y，所以 p＝2，p/2＝1，焦点是 F(0，－1)，准线是 y＝1  。

【05】根据上面的讨论可以看出，以原点为顶点，以坐标轴为对称轴的抛物线有四种不同的位置，它们的方程也是不同的，因此在解有关抛物线的问题时，就应注意：

(1) 从已知抛物线的方程，求它的焦点或准线时，首先要判断抛物线的张口方向，才不致于把焦点和准线方程写错。

(2) 从已知的条件求抛物线方程时，必须全面考虑到所求的方程是否满足已知条件，这里有可能出现几个解的情况。另外，在解题的过程中，要随时注意焦参数，p 恒为正值。

例4.求以原点为顶点，x 轴为对称轴并且焦点到顶点的距离等于 4 的抛物线方程。

【解】

因为焦点到顶点的距离等于 4，所以 p/2＝4，p＝8，又抛物线是以原点为顶点，以 x 轴为对称轴，它的张口可能向左，也可能向右。这是因为，焦点到顶点的距离等于 4 这个条件尚无法判断张口的方向的缘故，因此必须全面考虑。设所求的抛物线方程是 y²＝±2px  。

因为 p＝8，所以抛物线方程是 y²＝±16x  。

如果抛物线是 y²＝16x，则焦点是 F(4，0)，准线是 x＝－4；如果抛物线是 y²＝－16x，则焦点是 F(－4，0)，准线是 x＝4  。

例5.求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过 P(－2，－4) 点的抛物线方程。

【解】

因为抛物线经过的点是第Ⅲ象限内的一个点，又没有具体指出以 x 轴或 y 轴为对称轴，应考虑抛物线的张口向左或向下两种情况：

(1) 如果抛物线张口向左，则它的方程是 y²＝－2px（x≤0），

又它经过 P(－2，－4) 点，所以 16＝－2p(－2)，p＝4，p/2＝－2  。

抛物线的方程是 y²＝－8x  。

焦点是 F(－2，0)，准线是 x＝2（图4·52中的Ⅰ）。

(2) 如果抛物线张口向下，则它的方程是 x²＝－2py（y≤0），

又它经过 P(－2，－4) 点，所以 4＝－2p(－4)，p＝1/2，p/2＝1/4  。

抛物线的方程是 x²＝－y  。

焦点是 F'(0，－1/4)，准线是 y＝1/4（图4·52中的Ⅱ）。

练习

1、判断下列各抛物线张口的方向，求出它们的焦点和准线，并且画出图形：

(1) x²＝－3y；

(2) y＝(1/2)x²；

(3) y²＝4x；

(4) x＋10y²＝0  。

2、求以原点为顶点，并且满足下列条件的抛物线方程，并画出图形：

(1) 以 y 轴为对称轴，并且经过 P(－4，5) 点；

(2) 以 x 轴为对称轴，并且经过 P(2，－4) 点；

(3) 以 y 轴为对称轴，焦点是 F(0，3)；

(4) 以坐标轴为对称轴，并且经过 P(－2，4) 点。

【注】

【06】在代数里学习过的二次函数的一般形式是 y＝ax²＋bx＋c，它的图象也是抛物线。如果 b＝0，c＝0，函数就变成 y＝ax²，抛物线以原点为顶点，以 y 轴为对称轴；如果 b，c 不同时等于零，抛物线就不是以原点为顶点，但对称轴是平行于 y 轴的，

【07】例如抛物线 y＝x²＋4x＋5，    (1)

【08】依照代数里的方法进行配方得 y－1＝(x＋2)²，    (2)

【09】可见抛物线的顶点是 (－2，1)，对称轴是 x＝－2，平行于 y 轴。

【10】如果令 y－1＝y'，x＋2＝x'，那末(2)式就变成 y＝x'²，即 x'²＝y'  。

【11】这与前面讨论的抛物线的标准方程形式 x²＝2py 则是一致的。一般地说，只要抛物线的对称轴平行于坐标轴，抛物线的方程都可以写成 (y－y₀)²＝±2p(x－x₀) 或 (x－x₀)²＝±2p(y－y₀) 的形式。

【12】其中 (x₀，y₀) 是抛物线顶点的坐标。如 x₀＝0，y₀＝0，抛物线的顶点就在原点，以坐标轴为对称轴。

【13】(2)式中的 x₀＝－2，y₀＝1，p＝1/2，是属于 (x－x₀)²＝2p(y－y₀) 的形式。

【14】关于这方面的知识，等到第五章的移轴学习过后，就会得到进一步的理解。