从dxf文件中提取点、直线、圆、弧等元素比较简单，但是Spline的处理比较麻烦。经过一段时间探索总结一下成果。

一、基本公式

1.有理样条曲线

        查阅一些资料，认为CAD中使用的Spline 是非均匀有理样条曲线。实测CAD中每个控制点权重都是-1，所以下面的有理样条公式蜕变成标准B样条公式。

 2.B样条曲线

        B样条曲线的表达式如下

                d-多项式阶数，CAD中默认阶数4，方程最高次幂degree=3

                k-对应控制点数，比如n+1个控制点，则k取值[0,n]

                u-参数方程中的“参数”，多个u值构成节点向量，

        在CAD中节点向量个数=控制点数+阶数，所以节点向量最后索引是n+d,CAD中的节点向量值是根据拟合点评估的，后面举例说明。

 3.混合函数

• B样条曲线的混合函数由Cox-deBoor递归公式定义

• 推导一次导数（没有使用）

• 推导二次导数（没有使用）

二、CAD样条实例

 1.绘制spline

         在CAD中使用Spline命令随便绘制一段简单的样条曲线，如下图：

        如上图所示，CAD中样条曲线拟合点数量3，阶数4，那么控制点数就是3+4-2。而且默认参数新生成的样条曲线前三个控制点共线，后三个控制点共线。而且线段比例是可以计算出来的，这一点对实现自己的样条非常关键。

2.参数方程 

         上图是一个3次多项式,阶数d=4，控制点数5，则k取值[0,4]，控制点是C0, C1, C2, C3, C4，将这些参数带入公式，可得该曲线的表达式：

3.计算混合函数

根据上面的公式可以总结出这样一个表：

4.混合函数计算代码

5.计算节点向量

        如果是单纯的读取dxf文件，节点向量可以从文件读取，是已知量，不用算，下面描述节点向量如何根据拟合点来计算。

        控制点数5，阶数4，节点向量个数5+4=9，也就是：

         绘制样条时已知量只有这3个拟合点，控制点是不知道的。节点向量也不知道。默认是根据拟合点弦长（还有其他方法，弦长平方根之类的）计算的节点向量。根据上面的弦长可以计算：

         上面只得到了3个节点值，但是实际需要9个。前后端点比较特殊，阶数4，那么前后端点对应的节点值需要各自重复4次，所以最终得到的节点向量如下：

         刚好是9个，这不是巧合。假设拟合点数量是nFit, 阶数为d,那么控制点数量nCtrl=nFit+(d-2),那么节点数量

nKnot=nCtrl+d= nFit+(d-2)+d= nFit+2*d-2

        根据nFit个拟合点可以计算出nFit个节点（第一个是0），前后节点各自重复d次，总的节点数量就是nKnot=nFit+2*d-2。

 6.节点向量计算代码

7.读取dxf文件中的Spline

        使用libDxf读取dxf文件，能够得到样条曲线的如下信息：

         Spline信息结构体代码：

 再看一下这个多项式，所有都是已知量，将u细分带入计算，便能够计算去线上的任意点坐标。u取值范围[0, 135.3347],如果要计算101个曲线点，将u分成100份：0，1.353347，……，分别带入公式计算可以得到101个曲线点，在自己的程序中连接各点便能得到与dxf中一样的样条。当然计算越多，精度越高。

        从上面的内容可以实现读取dxf中的spline，然后在自己的代码中显示曲线。如果是要在自己的代码绘制spline，需要继续往下探索。

        将u的取值范围划分50份，逐个计算得到50个点，然后将点拷贝到CAD中可以看到计算结果与原始曲线的拟合程度。

三、绘制自己的spline

1.已知量

        刚开始绘制的时候一切都是未知的，用鼠标随机生成的点就是spline的拟合 点。然后我们默认阶数是4，与CAD中一致。假如我们用鼠标在自己的程序中获取了如下的3个拟合点：

        此时我们的已知量如下：

                a.阶数d=4

                b.拟合点数nFit=3

                c.控制点数nCtrl=nFit+d-2=5

                d.节点数量nKnots=nCtrl+d=9,还可以用弦长评估出这个9个值

                e.

        求解曲线的参数方程，需要根据上面的已知量，计算出5个控制点。

         5个未知数，只有3个方程，还需要2个方程,其实

是已知的，可以将5个未知数削减为3个，上面的3个方程只保留中间1个，为了后面描述的完整性，还是按照5个未知数计算。

2.边界条件

        查阅一些资料，大多数是通过评估或者设定端点的导数来增加两个方程，如果在绘制spline时，我们手动输入了端点的切向，那么就要通过计算导数来增加两个方程。如果采用默认值，切向是未知的，所以计算导数也不能用。经过一段时间思考和观察，发现CAD中前3个控制点、后3个控制点总是共线（前提是绘制的时候没有输入端点切向）。

         观察发现下面的比例关系，于是有了某种猜测：

        再随便画一个复杂点的spline观察

        再次验证了：前后三个控制点不但共线，而且线段比例和拟合点弦长有关系，而拟合点的弦长又推算出节点向量。所以前后三个控制点的长度比例和可以用节点向量计算。（这是我个人观察和猜测，毕竟没法获取CAD中真正的计算方式，不保证真的正确）

        把上面的猜测应用到那条简单的spline里，往下计算：

        已知节点向量：

        我们得到了下面的方程：

规范一下样式：

再加上前面的3个方程，刚好5个方程，5个未知数，汇总如下：

整理成矩阵样式:

        再次说明一下，

是已知量，可以削减一下上面的矩阵，但是为了完整描述，仍然把

当做未知量计算。

        上述过程简化描述如下：

                a.默认曲线阶数d

                b.获取nFit个拟合点

                c.计算nFit+2*d-2个节点值

                d.计算nFit+d-2个控制点系数

                e.应用前后3个控制点共线、线段比例这个2个边界条件

                f.整理成矩阵，计算出nFit+d-2控制点

                g.整理出样条参数方程

3.从拟合点计算控制点的代码

计算出控制点之后带入B样条曲线，便能计算曲线上各个点。