【格物致知·几何】5-6-06圆锥曲线的直径『数理化自学丛书6677版』

作者：山嵓发布时间：2024-09-16

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第六章参数方程

§6-6圆锥曲线的直径

【01】连接圆锥曲线上任意两点的线段叫做圆锥曲线的弦，现在我们来考虑一个圆锥曲线中一组平行弦中点的轨迹。

【02】先从圆谈起，在图6·18(a)中是圆的一组平行的弦，由平面几何的知识可以知道它们的中点的轨迹是圆的直径。这个性质对于一般的圆锥曲线是否适用，还须要我们来探讨和证明。下面先来探求椭圆的一组平行弦的中点的轨迹方程：

1、椭圆的直径

【03】设一个椭圆的方程是 β²x²＋α²y²＝α²β² 。 (1)

【04】又设一组平行弦的斜率是定值 k，那末这组平行弦的直线系方程是 y＝kx＋t，

【05】这里的 t 是参数，如图6·18(b)，弦 P₁P₂ 是在 t＝t₁ 时的一个位置，

【06】所以 P₁P₂ 直线的方程是 y＝kx＋t₁ 。 (2)

【07】设弦的两端点 P₁，P₂ 的坐标分别是 (x₁，y₁) 和 (x₂，y₂)，可以理解，这两对数值显然是(1)式及(2)式所组成的方程组的解。

【08】从(1)，(2)两式消去 y 并加以整理，

【09】得 (α²k²＋β²)x²＋2α²t₁kx＋α²(t₁²－β²)＝0， (3)

【10】方程(3)的两根是 x₁，x₂，由韦达定理，

【11】可得 $%5Cscriptsize%20x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7B2%5Calpha%5E%7B2%7Dt_%7B1%7Dk%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dk%5E%7B2%7D%2B%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D$ 。

【12】假定 P'(x'，y') 是弦 P₁P₂ 的中点，则 x'＝(x₁＋x₂)／2，

【13】所以 $%5Cscriptsize%20x%5E%7B%5Cprime%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dt_%7B1%7Dk%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dk%5E%7B2%7D%2B%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D$ 。 (4)

【14】因 P' 点在弦 P₁P₂ 上，

【15】所以 y'＝kx'＋t₁，

【16】即 t₁＝y'－kx'，

【17】代入(4)式并且整理得 β²x'＋α²ky'＝0 。

【18】当弦 P₁P₂ 平行移动时，它的中点 P' 也移动，P' 点的坐标 (x'，y') 当然跟着变动，但它们总是适合于方程 β²x'＋α²ky'＝0 。

【19】这一方程也可写成 $%5Csmall%20y%3D-%5Cfrac%7B%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dk%7D%20x$ 。（P'(x'，y') 以 P(x，y) 代替） (5)

【20】上面方程就是在椭圆中一组平行弦中点的轨迹的方程，它表示一条直线（因为 x，y 的一次方程），我们称它为椭圆 β²x²＋α²y²＝α²β² 的直径，所以，椭圆的直径所在的直线是一条经过原点的直线，它是一组平行弦中点的轨迹。

【21】今考察椭圆 β²x²＋α²y²＝α²β² 的直径方程(5)式很容易看到

(1) 它是通过椭圆的中心的（现在椭圆的中心在原点）。

$%5Csmall%20k%5E%7B%5Cprime%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D$ 。

式中 α 可大于β，等于 β 或小于 β，β² 是 x² 的系数，α² 是 y² 的系数。如 4x²＋9y²＝36，平行弦的斜率是 2，则相应的直径就是 y＝－4x／(9×2)，即 2x＋9y＝0，又在 9x²＋4y²＝36 中，设平行弦的斜率是 2，则相应直径是 y＝－9x／(4×2)，即 9x＋8y＝0 。

(3) 假使这是一个圆，它的方程是 x²＋y²＝a²，

那末对于一组平行弦斜率为 k 的圆的直径方程就是 x＋ky＝0 。

这说明圆的直径通过圆心，又因 k'＝－1/k，所以圆的直径是垂直于这平行弦组中的每一个弦。

2、椭圆的共轭直径

【22】在椭圆 β²x²＋α²y²＝α²β² 中，有斜率为 k 的平行弦的相应直径 UV（图6·19(a)）是

y＝k'x (1) （k'＝－β²／α²k），

【23】现在以这直径的斜率 k' 为斜率的平行弦的直径 U'V' 是 $%5Cscriptsize%20y%3D-%5Cfrac%7B%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dk%5E%7B%5Cprime%7D%7D%20x$ 。

【24】把 k' 的值代入直径 U'V' 的方程得 y＝kx 。 (2)

【25】上式的斜率就是原来弦的斜率，所以从(1)式和(2)式可以看到它们的相互关系，就是

1、两式斜率间有关系式 k·k'＝－β²/α² 。

2、以(1)式的斜率 k' 为斜率的平行弦，它的相应直径是(2)式。

3、以(2)式的斜率 k 为斜率的平行弦，它的相应直径是(1)式。

【26】(1)，(2)两式的图象在几何意义上是 UV 平分平行于 U'V' 的弦；相反地 U'V' 平分平行于 UV 的弦，因此我们叫 UV，U'V' 为椭圆的两共轭直径（图6·19(a)）。(1)式和(2)式是对于椭圆方程 β²x²＋α²y²＝α²β² 的两共轭直径方程，kk'＝－β²／α² 是椭圆共轭直径斜率的关系式。

3、双曲线、抛物线的直径

【27】设双曲线的方程是 β²x²－α²y²＝α²β²，又设一组平行弦的斜率是已知数 k，照椭圆同样的方法可以求到它相应的直径方程是 $%5Csmall%20y%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dk%7D%20x$ 。

【28】同样可推到，假使 y＝kx，y＝k'x 是双线的两共轭直径，则它们斜率间的关系是 kk'＝β²／α²（图6·19(b)）。

【29】设抛物线的方程是 y²＝2px，又它的一组平行弦的斜率是 k，同样可推到它的直径是 y＝p/k 。

【30】很明显，可看出抛物线的直径都是平行于它的轴的（图6·19(c)），抛物线的直径没有共轭的直径。

【31】现在把圆锥曲线的直径方程（假定平行弦组的斜率是 k），列表于下，以备查考。

练习

1、填列下表（根据公式直接写出直径方程）：

2、试从椭圆的直径方程推出这直径的参数方程，它是

$%5Cscriptsize%20x%3D-%5Cfrac%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dkt%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dk%5E%7B2%7D%2B%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D%2Cy%3D%5Cfrac%7B%5Cbeta%5E%7B2%7Dt%7D%7B%5Calpha%5E%7B2%7Dk%5E%7B2%7D%2B%5Cbeta%5E%7B2%7D%7D$ （t 是参数）。

习题6-5~6-6

1、一刚体棒 AB，两端 A，B 各在相互垂直的两杆上滑动。今在 AB 间有一点 P，已知 PB，PA 的长度各为 a，b 。求

(1) P 点的轨迹的参数方程；

(2) 假使 a，b 相等时，P 点的轨迹是什么？

2、过一定点 Q 作直线分别交 x 和 y 两轴于 A，B 两点，求 AB 中点 P 的轨迹的方程。[提示：令过 Q(a，b) 点的直线方程为 y－b＝k(x－a) 。今 k 是参数，再分别令 y＝0，x＝0 求得 A，B 两点的截距。设 P 点的坐标是 (x，y)，则 x＝(1/2)(OA)，y＝(1/2)(OB)，… ]

3、由圆外一点 Q(a，b) 向圆 x²＋y²＝r² 作割线交圆周于 A，B 两点，求 AB 中点 P 的轨迹的方程。[提示：设过 Q 的直线方程是 y－b＝k(x－a)，k 是参数，则圆心与 AB 中点的莲线的方程是 y＝－x/k，… ]

4、在双曲线 β²x²－α²y²＝α²β² 中，一组平行弦的斜率是 k，求平分这组弦的直径方程。[提示：解题方法同6-6节1 ]

5、在上题中，设双曲线的一组平行弦的斜率是 β²／α²k（即上题直径的斜率），求它的对应直径（即上题的共轭直径）的方程。

6、在抛物线 y²＝2px 中，一组平行弦的斜率是 k，求平分这组弦的直径方程。

7*、在椭圆 b²x²＋a²y²＝a²b² 中，一个直径的两端为 (a cosθ，b sinθ)，(－a cosθ，－b sinθ)：

(1) 求证 (－a sinθ，b cosθ) 及 (a sinθ，－b cosθ) 是它的共轭直径的两端；

(2) 求这直径方程及它的共轭直径方程。

8*、在椭圆 9x²＋4y²＝36 中，证明经过一个直径端点的切线平行于它的共轭直径。

9*、在双曲线 9x²－4y²＝36 中，证明经过一个直径端点的切线平行于它的共轭直径。

10*、在双曲线 4x²－y²＝4 中，已知一条直径是 x－2y＝0，写出它的共轭直径方程。

11、一个小圆半径是一个大圆半径的四分之一，今小圆在大圆内沿大圆周滚动，求小圆上一个点 P 的轨迹的参数方程和普通方程。

[提示：

如图上小圆半径 CB＝r，大圆半径 OB＝4r，∠AOB＝Φ 。又设 P(x，y) 为小圆上一点。以大圆心为原点，x 轴经过大圆周上 A 点，此 A 点为滚动开始时 P 与大圆周相合之处，

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%E6%89%80%E4%BB%A5%5C%3B%26%5Cstackrel%5Cfrown%7BBP%7D%3D%5Cstackrel%5Cfrown%7BBA%7D.%5C%5C%0A%E4%BD%86%5C%3B%26%5Cstackrel%5Cfrown%7BBP%7D%3Dr(%5Cangle%20PCB)%2C%20%5C%5C%0A%E5%8F%88%5C%3B%26%20%5Cstackrel%5Cfrown%7BBA%7D%3D4r%5Ccdot%5Cphi%2C%20%5C%5C%0A%5Ctherefore%20%5C%3B%26r(%5Cangle%20PCB)%3D4r%5Ccdot%5Cphi%2C%20%5C%5C%0A%E6%95%85%5C%3B%26%5Cangle%20PCB%3D4%5Cphi.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

今

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3DOM%3DOD%2BDM%3DOD%2BEP%2C%26(1)%5C%5Cy%3DMP%3DDE%3DDC-EC.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

∵

OD＝| OC |cosΦ－3r cosΦ（∵ OC＝OB－CB＝3r），

∠PCE＝∠BCE－∠PCB＝(Φ＋90°)－4Φ＝90°－3Φ，

EP＝| CP | sin(∠PCE)＝r sin(90°－3Φ)＝r cos3Φ，

DC＝| OC | sinΦ＝3r sinΦ，

EC＝| CP | cos(∠PCE)＝r cos(90°－3Φ)＝r sin3Φ，

∴ 代入(1)，(2)两式得

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D3r%20%5Ccos%5Cphi%2Br%20%5Ccos3%5Cphi%2C%5C%5Cy%3D3r%20%5Csin%5Cphi-r%20%5Csin3%5Cphi.%5Cend%7Bcases%7D$ (3)

这是所求轨迹的参数方程，参数为 Φ 。

从三角公式，

cos3Φ＝4cos³Φ－3cosΦ，

sin3Φ＝3sinΦ－4sin³Φ，

∴

3cosΦ＋cos3Φ＝4cos³Φ，

3sinΦ－sin3Φ＝4sin³Φ，

代入(3)得

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3D4r%5Ccos%5E%7B3%7D%5Cphi%2C%5C%5Cy%3D4r%5Csin%5E%7B3%7D%5Cphi.%5Cend%7Bcases%7D$

这曲线是内摆线的一个特例，因为它有四个歧点，所以叫它是四歧点内摆线 ]

12*、下页附图中，OB 是一根曲棍，它围绕 O 点旋转；AB 是一根联杆，A 点在 Ox 线上滑动，今 OB 长 r，| AB |＝| OB |，设 P 为 AB 上面一点，又 | PB |＝b，| PA |＝a，求 P 点的轨迹的方程。

【

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261.(1)%5Ctext%7B%20%E6%A4%AD%E5%9C%86%2C%7Dx%3Da%5Ccos%5Ctheta%2Cy%3Db%5Csin%5Ctheta%3B%20%5C%5C%0A%26(2)%5Ctext%7B%20%E5%9C%86%2C%20%7Dx%3Da%5Ccos%5Ctheta%2Cy%3Da%5Csin%5Ctheta.%20%5C%5C%0A%262.%20x%3D%5Cfrac%7Bak-b%7D%7B2k%7D%2Cy%3D%5Cfrac%7Bb-ak%7D%7B2%7D%3B%5Cquad%5Ctext%7B%E6%88%96(2%7Dx-a)(2y-b)%3Dab.%20%5C%5C%0A%263.%20x%3D%5Cfrac%7Bak%5E%7B2%7D-bk%7D%7Bk%5E%7B2%7D%2B1%7D%2Cy%3D%5Cfrac%7Bb-ak%7D%7Bk%5E%7B2%7D%2B1%7D%3B%20%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%20x%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-ax-by%3D0%3B%20%5Ctext%7B%E5%9C%86%7D.%20%5C%5C%0A%26%204.%20%5Cbeta%5E%7B2%7Dx-%5Calpha%5E%7B2%7Dky%3D0.%5C%5C%0A%265.%20y%3Dkx.%5C%5C%0A%266.%20y%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7Bk%7D.%20%5C%5C%0A%267.%20(2)%20ay%5Ccos%5Ctheta-bx%5Csin%5Ctheta%3D0%20%2C%20ay%5Csin%5Ctheta%2Bbx%5Ccos%5Ctheta%3D0%20.%20%5C%5C%0A%2610.y%3D8x.%5C%5C%0A%2612.%5Ctext%7B%20%E5%8F%82%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%3A%7Dx%3D(a%2B2b)%5Ccos%5Ctheta%2Cy%3Da%5Csin%5Ctheta%3B%5Ctext%7B%20%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%A4%AD%E5%9C%86%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$