【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第五章坐标变换和二元二次方程的讨论

§5-6化简关于数字系数的一般二元二次方程的实际方法

【01】关于二元二次方程的化简方法在本章前几节里曾经举过许多例子。但一遇到转轴，在计算上就比较麻烦，并且容易发生错误。一般的二次方程（具有 xy 项）的化简是要经过移轴和转轴两个步骤的，那当然就更繁了。对于只具有数字系数的方程有没有比较简单的方法呢？又对于移轴和转轴两个步骤那一个先做是比较适合呢？这是值得再深入一步讨论的。我们的原则是对于不同情况，应当采取不同的办法，上面所推导出来的公式应当尽量加以利用，使便于计算。现在把化简方法分类叙述于下：

1、对于有心圆锥曲线方程可以先行移轴再行转轴

【02】就是以它的中心为新原点，通过移轴化去 x，y 的一次项，再行转轴消去它的 xy 项。如在方程 Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0    (1)    中，如果 ∆≠0，则这方程是有心圆锥曲线的方程。

【03】设它的中心坐标是 (h，k)，以它作为新原点，用移轴公式

【04】代入方程(1)，得 A(x'＋h)²＋B(x'＋h)(y'＋k)＋C(y'＋k)²＋D(x'＋h)＋E(y'＋k)＋F＝0，

【05】即 Ax'²＋Bx'y'＋Cy'²＋(2Ah＋Bk＋E)y'＋(Bh＋2Ck＋E)y'＋(Ah²＋Bhk＋Ck²＋Dh＋Ek＋F)＝0  。    (2)

【06】因为 (h，k) 是这曲线的中心（就是对称中心），所以 x，y 项系数（即一次项系数）应当等于零，就是

    (3)

【07】即 

【08】就 h，k 解这方程组，得

    (4)

【09】以 h，k 的值代入(2)式化简，则得新方程为 Ax'²＋Bx'y'＋Cy'²＋F＝0  。    (5)

【10】这里

【11】由(3)式就可以得 F'＝(1/2)(Dh＋Ek＋2F)  。    (6)

【12】我们以(4)代入(6)式得

【13】(7)式的分子恰等于一个三阶行列式的展开式，这行列式用 2Θ 表示【Θ 是希腊字母 θ 的大写体，通常称它为大θ】，

【注1】求 F' 以用(6)式为便，至于(8)式在实际计算上是不便的，但它的形式整齐，既便于记忆，也便于深入一步讨论。【在有些书本上，称Θ为二元二次方程的特例的判别式】

【注2】这个三阶行列式的形式很容易记忆，方法如下：

的形式。

  。

  。

【注3】利用这个三阶行列式的形式，可以使我们对于求 h，k 和 F' 的公式容易记忆。我们看到：

    在(6)式中关于 h，k 的系数依次序恰与 Θ 的第三行的元素相同（全式不要忘记用 2 除），即 F'＝(1/2)(Dh＋Ek＋2F)  。

练习

1、展开 2Θ，检查它是不是与(7)式的分子相同。

2、利用(3)式和(6)式求下列方程所表示的图象的中心 h，k 的值，并且求出 F' 的值：

(1) 2x²＋4xy＋5y²－4x－22y＋7＝0；答：（－2，3)，－22  。

(2) 2x²－7xy＋6y²－y－2＝0；答：(－7，－4)，0。

(3) 3x²－10xy＋3y²＋26x－22y＋35＝0  。答：(－1，2)，0  。

例1.化简 2x²＋4xy＋5y²－4x－22y＋7＝0 并描它的图象。

【解】

今 ∆＝B²－4AC＝4²－4·2·5＝16－40＝－24＜0，可知曲线为椭圆型。

假定它的中心是 (h，k)，

解得 h＝－2，k＝3，

就是说中心是 (－2，3)  。今移轴，以 (－2，3) 为新原点，

那末新方程是 2x'²＋4x'y'＋5y'²＋F'＝0  。    (3)

从公式 F'＝(1/2)(Dh＋Ek＋2F)，

得 F'＝(1/2)[－4(－2)＋(－22)·3＋14]＝－22  。

(3)式方程就是 2x'²＋4x'y'＋5y'²＝－22  。

把轴转过角 θ，

，

则得新方程为 A'x"²＋C'y"²＝22  。    (4)

，得 A'－C'＝± 5  。

（因B＞0，则 A'＞C'，所以只取一组值）

【

从5-5节，A'－C'＝(A－C)cos2θ＋Bsin2θ，今 ctg2θ＝(A－C)/B，0≤2θ＜π，

(1) 在 A＞C 时，

如 B＞0，则 ctg2θ＞0，cos2θ＞0，又 sin2θ＞0 故 A'＞C'；

如 B＜0，则 ctg2θ＜0，cos2θ＜0，又 sin2θ＞0 故 A'＜C'；

(2) 在 A＜C 时，

如 B＞0，则 ctg2θ＜0，cos2θ＜0，又 sin2θ＞0 故 A'＞C'；

如 B＜0，则 ctg2θ＞0，cos2θ＞0，又 sin2θ＞0 故 A'＜C'  。

所以不问 A，C 的大小，在 B＞0 时 A'＞C'，B＜0 时 A'＜C'  。

】

所以(4)式为 6x"²＋y"²＝22，

  。

这是植圆方程，a＝√22≈4.7，b＝√(11/3)≈1.9，焦点在 y" 轴上（图5·13）。

例2.作方程 3x²－10xy＋3y²＋26x－22y＋35＝0 的图象。

【解】

今 ∆＝(－10)²－4·3·3＝100－36＞0，可知曲线是双曲线型，把原点移到 (h，k) 作为新原点，

解得 h＝－1，k＝2  。

以 (－1，2) 为新原点，

通过移轴得新方程 3x'²－10x'y'＋3y'²＋F'＝0  。    (3)

又 F＝(1/2)(Dh＋Ek＋2F)＝(1/2)[26(－1)＋(－22)·2＋70]＝0，

所以(3)式是 3x'²－10x'y'＋3y'²＝0  。    (4)

很明显，方程的左边可分解成两个因式 (x'－3y')(3x'－y')＝0，

就是 x'－3y'＝0，3x'－y'＝0  。

它的图象是两条相交直线（就是退化双曲线），它们都经过 (－1，2)，又斜率已知，故从点斜式，这两直线对于原坐标系的方程是

y－2＝(1/3)(x＋1) 或 y－2＝3(x＋1)，

即 x－3y＋7＝0 或 3x－y＋5＝0  。

2、对于无心曲线（∆＝0）的方程，即抛物线型方程，一般是先转轴再行移轴

【14】就是利用转轴消去它的 xy 项，再用配方法化为抛物线型标推方程。

例3.化简方程 x²－4xy＋4y²－6√5 x－8√5 y－35＝0，并描它的图象。

【解】

因为 ∆＝(－4)²－4·4＝0，可知它的图象是抛物线型。今把轴转过角 θ，

，    (1)

（cos2θ 与 ctg2θ 同号），

∴ 

代入转轴公式，得

    (2)

原方程可改写成 (x－2y)²－(2√5)(3x＋4y)－35＝0  。    (3)

以(2)代入(3)，

，

整理后得 5y'²－20x'－10y'－35＝0，

就是 y'²－4x'－2y'－7＝0  。    (4)

就 y' 配平方，得 (y'－1)²＝4(x'＋2)  。    (5)

    (6)

以 (－2，1) 为新原点平移 x' 和 y' 轴，即以(6)式代入(5)得最后的方程为 y"²＝4x"  。

它的图象是一个抛物线（图5·15）。

例4.描 9x²＋12xy＋4y²－6x－4y－3＝0 的图象。

【解】

因为 ∆＝(12)²－4·9·4＝0，

所以它的曲线是抛物线型。

原方程可配方，

得 (3x＋2y)²－2(3x＋2y)－3＝0，

就是 (3x＋2y－3)(3x＋2y＋1)＝0  。

∴ 3x＋2y－3＝0 或 3x＋2y＋1＝0  。

这是两条直线的方程，它们的朝率都是－3/2，所以原方程的图象是两条平行线（图略）。

【注】

此题若按照一般的方法先行转轴，从 ctg2θ＝5/12 算到 cos2θ，又推到 cosθ，sinθ，再以转轴公式代入原式

求得 13x'²－2√13  x'－3＝0，

即 (√13  x'－3)(√13  x'＋1)＝0，

这样做就繁得多，所以对于一个数字系数方程，在变轴的运算过程中看到它可以分解因式，或者可以用其他特殊简便方法处理时，公式就要灵活运用。【如5-4节的例1，例2，坐标轴正好转过 45°，就可以从三角法直接写出 cos45°，sin45° 的值。】

【15】上面叙述的是对于具有数字系数的一般二元二次方程（设 B≠0）Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0    (a)    的几种化简实例，是比较简单的也是容易掌握的，现在把它的方法和步骤归结如下：

【16】首先计算 ∆ 的值，看它的值是否等于零。如果 ∆≠0，它是有心圆锥曲线类型方程，应先移轴再转轴；如 ∆＝0，它是抛物线类型方程，应先转轴再行移轴。

【17】化简的步骤如下：

1、有心圆锥曲线化简具体步骤

(1) 移轴：

    (1)

求它的中心 (h，k)，再以 (h，k) 代入公式 F'＝(1/2)(Dh＋Ek＋2F)    (2)

求 F'，它第一次的新方程是 Ax'²＋Bx'y'＋Cy'²＋F'＝0  。    (b)

【注意】

① 不须用移轴公式 x＝x'＋h，y＝y'＋k 代入原式做，直接用上面(1)式求 h，k 的值，再从(2)求 F 的值就便当得多.

② 上面几个公式的记忆方法，照本节所讲的，看行列式 2Θ 的各行元素。

(2) 转轴：

，    (3)

当轴转过角 θ 之后，第二次新方程为 A'x"²＋C'y"²＋F'＝0  。    (c)

用“不变式”建立方程组

    (4)

解这个方程组求出 A'，C' 的值。

【注意】

① 进行转轴不须用转轴公式 x＝x'cosθ－y'sinθ，y＝x'sinθ＋y'cosθ 代入，今从两个不变式直接求得 A'，C' 就简便得多。

② B＞0 时，A'＞C'；B＜0 时，A'＜C'  。

(3) 化到标准式：

看 A'，C' 同号或异号，进一步化到椭圆或双曲线的标谁方程，以便作图。

(4) 描图：

画出所有的坐标轴，新原点在 (h，k)，x'，y' 轴转过的角是 θ，θ＝(1/2)arcctg[(A－C)/B]  。照最后的新方程(c)在最后的新坐标系（x"O'y"）描图。

【注意】只要照 ctg2θ 作图得角为 2θ，再作它的二等分角线就可以，不须从 ctg2θ 推求 tgθ（见上面例1）。

2、无心圆锥曲线（即抛物线型）化简的具体步骤

(1) 转轴：

从 ctg2θ＝(A－C)/B（也可先求 cos2θ），化到 tgθ 的方程 Btg²θ＋2(A－C)tgθ－B＝0 以求 tgθ，取它的正值，再由 tgθ 用三角公式求 cosθ，sinθ 的值，

用转轴公式代入 (√A  x＋√Cy)²＋Dx＋Ey＋F＝0，    (5)

得第一次新方程为 A'x'²＋D'x＋E'y＋F＝0，    (d)

或 C'y'²＋D'x＋E'y＋F＝0  。

(2) 移轴：

用配方法以移轴，化到抛物线的标准式 A'x"²＋E"y"＝0，    (e)

或 C'y'²＋D"x"＝0  。

(3) 描图：

画出所有的坐标轴，照最后新方程(e)以 x" 和 y" 为轴作图。

(4) 关于特例：

在演算过程中，可以用分解因式或其他方法处理时，要随时灵活掌握，不必按照规定手续刻板进行（见上例4）。

【注1】把原方程化为(5)式，再以转轴公式代入化简就较简便。

【注2】如所给方程缺少 xy 项，那就如5·3节只要移轴化简就解决问题了。又如所给方程的二次项只含有 xy 项（即 A＝0，C＝0），那也只要用移轴化简为 xy＝k 的形式（等边双曲线），问题也就解决了。

习题5-4~5-6

1、利用移轴或转轴化简下列各方程，并且描出它们的图象：

(1) 5x²－6xy＋5y²－6x－22y＋21＝0；

(2) 2x²＋4xy－y²－20x－8y＋32＝0；

(3) x²＋xy＋y²＋3y＋3＝0；

(4) 4x²－4xy＋y²－2x－14y＋7＝0；

(5) 4x²－4xy＋y²＋4x－2y－3＝0；

(6) 6x²－7xy＋2y²－x－2＝0；

(7) 5x²－12xy－8x＋24y－40＝0；

(8) x²－4xy＋4y²＋2x－4y＋1＝0；

(9) x²＋2xy＋y²＋4x－4y＝0；

(10) 2x²＋8xy＋8y²＋6x＋12y＋5＝0  。

2、用移轴法证明 y＝ax²＋bx＋c 的轨迹一般是抛物线。

3、用移轴法证明 y＝b／(x－a) 的轨迹是等边双曲线。

【

】