【格物致知·几何】5-5-01坐标轴的平行移动『数理化自学丛书6677版』

作者：山嵓发布时间：2024-09-13

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第五章坐标变换和二元二次方程的讨论

§5-1坐标轴的平行移动

【01】本章讨论平面上直角坐标系的两种变换，就是坐标轴的平行移动和坐标轴的旋转。我们可以通过它们来变换一点的坐标、利用坐标变换化简一个方程，可以使我们既容易掌握这方程所表示的曲线的特点，又便于描绘这方程的曲线。本章主要就是研究如何化简一般的二元二次方程，使它在形式上符合于某一圆锥曲线的标准型方程或其他便于掌握的形式的方程，从面进一步根据二元二次方程的系数来讨论它的曲线。

【02】在第二章2-4节里的例2，从方程 4x²＋9y²＋16x－18y－11＝0 (1) 的形式，一时不容易看出它的曲线的性质，因此在描绘曲线时就感到有些困难，现在我们如果用

$%5Cscriptsize%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%7Bx%3Dx%5E%7B%5Cprime%7D-2%2C%7D%5C%5C%7By%3Dy%5E%7B%5Cprime%7D%2B1%7D%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ (2)

【03】代入原方程，就得到 4(x'－2)²＋9(y'＋1)²＋16(x'－2)－18(y'＋1)－11＝0，

【04】整理后得 4x'²＋9y'²＝36 。 (3)

【05】在方程(3)中，就变数 x'，y' 来说，一看就知道它是一个椭圆的方程。我们在第二章2-4节里的例2，曾经就方程(1)进行过讨论，并且也作过它的曲线，当时感到有些困难，现在通过(2)式的代换，得到方程(3)的形式，它的讨论和描图就简单得多了。这样的代换，对研究方程的曲线是大有帮助的，关于(2)式的代换公式如何推导得来的，以及怎样利用它来化简方程等，就是我们下面所要解决的问题。

1、坐标轴的平移公式

【06】在一个直角坐标系中，把原来两轴平行移动到新的位置，例如把 x 轴移过 | k | 个单位长度，y 轴移过 | h | 个单位长度后（坐标轴的方向和长度单位都不变），成为新的 x' 轴及 y' 轴，两新轴的交点 O' 作为新的原点，对原坐标系来说，O' 的坐标是 (h，k) 。通过坐标轴的平行移动，坐标系的原点被移至 O'(h，k) 作为新原点（图5-1），就构成新坐标系 x'O'y' 。

【07】如果在平面上任取一点 P，并设它在原坐标系中的坐标是 (x，y)，在新坐标系中的坐标是 (x'，y') 。现在来研究这两组坐标间的关系。

【08】从图5·1可以看到：OH＝h，OK＝k，

【09】又 OM＝x，ON＝y，O'M'＝x'，O'N'＝y'，

【10】今

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7DOM%3DHM%2BOH%3DO'M'%2BOH%2C%5C%5CON%3DKN%2BOK%3DO'N'%2BOK%2C%5Cend%7Bcases%7D$

【11】就是

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Dx%5E%7B%5Cprime%7D%2Bh%2C%5C%5Cy%3Dy%5E%7B%5Cprime%7D%2Bk.%5Cend%7Bcases%7D$ (1)

【12】如果变动坐标轴时，只改变原点的位置而不改变轴的方向和长度单位，这种变换，叫做坐标轴的平行移动，简称移轴（或简称平移）。公式(1)表示同一个点关于原坐标系与新坐标系的两组坐标间的关系，叫它为坐标轴的平移公式（简称移轴公式)，(h，k) 表示新原点 O' 对于原坐标系的坐标。

2、平移公式的应用

(1) 已知一点对原坐标系的坐标，从公式(1)就可以求到它对新坐标系的坐标；反过来，已知一点对新坐标系的坐标，也就可以从这个公式求到它对原坐标系的坐标（见下面例题）。

(2) 在一个方程 F(x，y)＝0 中，以公式(1)进行代换，就是以变数 x' 和 y' 代替变数 x，y，就可以得到对于新坐标系的方程 f(x'，y')＝0，显然这两个方程是表示一个相同的曲线，公式(1)是说明两方程中变数间的关系。

例1.平移坐标轴以 O'(3，4) 为新原点，今有一点 A(－2，2)，求这点在新坐标系中的坐标。

【解】

设 A 点的新坐标是 (x'，y')，今 h＝3，k＝4，且 x＝－2，y＝2，所以从公式(1)得

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7D-2%3Dx'%2B3%2C%5C%5C2%3Dy'%2B4.%5Cend%7Bcases%7D$