【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅱ.椭圆 

§4-8用几何方法画出椭圆上的点

1、

【01】我们根据椭圆的定义，用圆规和直尺画出椭圆上的一些点，然后用光滑的曲线顺势连结各点，就可以得到所要画的椭圆。

【02】设椭圆的长轴的长是 2a，焦距是 2c  。

【03】取 F₁ 和 F₂ 两点，使 F₁F₂＝2c，因此 F₁ 和 F₂ 两点就可以看成是椭圆的两个焦点。

【04】令 A'A＝2a，在 A'A 上取 M，N 两点，使 A'M＝NA＝a－c  。

【05】然后在 MN 上任意取一点 Q，并设 A'Q＝t（这时 a－c ≤ t ≤ a＋c），则 QA＝2a－t  。分别以 F₁ 和 F₂ 为圆心，t 和 2a－t 为半径作弧，设它们交于 P₁ 和 P₁' 两点，则 P₁' 和 P₁ 是椭圆上的两点（因为 | P₁F₁ |＋| P₁F₂ |＝t＋2a－t＝2a）。在 MN 上改变 Q 点的位置，以同样的方法可得到 P₂ 和 P₂' 两点，……最后用光滑的曲线顺势连结 P₁，P₂……各点，就得到所画的椭圆。

2、

【06】我们以长轴和短轴为直径画两个同心圆。这两个圆叫做辅助圆（一个叫大辅助圆，一个叫小辅助圆），从圆心 O 任意作一半径 ON 交两圆于 M 和 N，再从 N 和 M 分别引短轴和长轴的平行线，设它们相交于 P₁，则 P₁ 点是椭圆上的一点，同样的方法可以得到 P₂，P₃，……各点，用光滑的曲线连结各点，就得到所画的椭圆。

【07】下面证明 P₁，P₂，P₃，……各点是椭圆上的点。

【08】如图4·30，设 P₁ 点的坐标是 (x，y)，则 ON'＝x，N'P₁＝y  。

【09】根据作法，可知 | ON |＝a，| OM |＝b  。如设 ∠N'ON＝θ【ON 与 Ox 的夹角 θ 叫做椭圆在 P₁ 点的离心角】，则在 △ON'N 中，cosθ＝x/a；在 △ODM 中，sinθ＝y/b，

【10】由此可得 x²/a²＋y²/b²＝sin²θ＋cos²θ＝1  。

【11】可见 P₁(x，y) 点是在椭圆上。

练习

利用圆规和直尺画出下列各椭圆上的一些点，然后顺势连结各点，画出椭圆的图形。

(1) x²/49＋y²/16＝1；

(2) x²/16＋y²/49＝1；

(3) x²＋4y²＝25；

(4) 9x²＋25y²＝100  。

习题4-5~4-8

1、根据下列所给的条件，求以原点为中心，长轴在 x 轴上的椭圆方程，并画出它们的图形：

(1) 焦点间的距离等于 8，长轴的长等于 10；

(2) 焦点间的距离等于 6，短轴的长等于 4；

(3) 焦点间的距离等于 12，离心率 e＝0.6；

(4) 长轴和短轴的和等于 20，焦点间的距离等于 4√5  。[提示：解方程组 a＋b＝10，a²－b²＝20 ]

2、求以原点为中心，两轴都在坐标轴上的椭圆方程：

(1) 经过 P₁(3，0) 和 P₂(0，－4) 两点；[提示：设椭圆方程是 Ax²＋Cy²＝K ]

(2) 长轴的长是短轴的长的 5 倍，且经过 P(7，2) 点。[提示：设 a＝5b，考虑长轴在 x 轴或 y 轴上的两种情况 ]

3、求与椭圆 x²/16＋y²/4＝1 有相同焦点，并且经过 P(√5，－√6) 点的椭圆方程。

4、已知地球的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道的近日点到太阳的距离和远日点到大阳的距离的比约为 29:30，求地球轨道的离心率。

5、在椭圆 x²/25＋y²/9＝1 上求一点，使它到中心与到 x 轴正方向上的焦点的距离相等。

6、地球的子午线是一个椭圆形，它的两个半轴的比是 299/300，求子午线的离心率。[提示：设 a＝300k，b＝299k，求出 c ]

7、已知椭圆短轴的两个端点各与焦点组成一个直角三角形，求椭圆的离心率。

8、一个动点 P(x，y) 到一个定点 F(2，0) 的距离和它到一条定直线 x＝8 的距离的比是 1:2，求动点 P 的轨迹。

【

】