2024年新高考（课标）一卷数学试卷万字复盘
-前言-
2024年的数学高考题注定载入史册，1月19日九省联考19题模式的数学试卷面世，怪异的题型分布和最后一题极为逆天的数论题引起了广泛的讨论，同时也彻底扭转了高三下学期数学的备考方向。各路模拟卷也都贡献出了五花八门的新定义题，有的直接延续九省联考创人精神狂考数论，有的直接引入大学知识让你少走四年弯路，有的守序善良继续出常规题型，在这样的背景下，2024年高考拉开帷幕。本人作为今年新高考（课标）一卷（以下简称新一卷）考生，通过此专栏意在将自己在考场上的心态和一些经验方法分享给大家，供各位未来在新高考改革下备考的学子作参考。
观前提示：本人数学成绩远远达不到顶尖水平，在考场上也犯了一些令我十分懊悔的错误，所以请各位理解，也请不要在评论区内引战、人身攻击，发类似“这也能错”“XXX秒了”“我成绩XXX，感觉卷子难度一般”的评论，一经本人发现将直接删评拉黑处理。
-正文-
拿到数学卷子后距离开考还会有五分钟的时间，这五分钟时间可以拿来干什么呢？我的做法是先看那些偏思考的题，比如立体几何的第一问，一般都是证明题，基础知识扎实的五分钟之内思路就差不多出来了。如果还有空闲时间可以再去读读新定义大题的题干，争取能做到理解题干讲的是什么。当然也有人会在这段时间里瞪出前几道选择题的答案，铃响后直接写上。其实我是不推荐这么做的，前几道选择题固然简单，但一旦算错会直接丢掉五分，高考的五分可是相当值钱的，因为这种失误而丢掉真的非常可惜。建议即使题目再简单，也要规规矩矩地把必需的计算过程写在草稿纸上，不该丢分的地方绝对不能丢。
接下来我们开始逐题分析：
第1题——条件比较新颖的集合题
通过A集合将x的绝对值的范围迅速缩小，大于1小于2，直接选出A选项。当然此题用排除法亦可，看到B、D选项集合里带着2直接排掉，看到C选项集合里带着-3也直接排掉。
的具体值我们是不知道的，所以我们选择了放缩，将它的范围估计到了整数的范围之内，这个技巧非常关键，我们在后面的几道题中还会用到它。
第2题——如何有效地处理分式
这题的分式比较棘手，有的人可能会想把分母上的z-1乘过去，虽然的确能算出结果，但过程就显得比较复杂了，这里我主要讲第二种方法，也是我在考场上使用的方法：分离常数。
，常数项1可以消掉，接下来两边同时取倒数再把等式左侧的-1挪过去，得到最终答案C选项。
有人可能会说，两种方法所用时间也差不了多少啊，用这种方法有什么意义吗。的确，这种方法的优越性在小题中不是那么明显，但是在大题上方法的选择对于计算量会有至关重要的影响，不久后我们就会认识到这一点。
第3题——思路直接的向量坐标运算
此题相当简单，只要学习了向量的坐标运算就会很快解出，故不再过多解释，答案为D。
第4题——高质量三角函数题的代表
tanαtanβ＝2的条件如何处理呢？我们应该想到两个方向：正切的和差角公式和切化弦。我们先看前者，根据正切的和差角公式
可以看到想要解出tan(α+β)或tan(α-β)来我们还需要求出tanα+tanβ或tanα-tanβ的值，但题中并没有给出相应的条件；而我们再看第一个条件，很容易想到用余弦的和角公式将其展开，根据
cos(α+β)＝cosαcosβ-sinαsinβ
出现了cosαcosβ和sinαsinβ两个极为关键的量，因此对第二个条件进行切化弦操作是正确的选择，从而得到sinαsinβ=2cosαcosβ，再根据第一个条件解出cosαcosβ=-m，sinαsinβ=-2m。题目让我们求的是cos(α-β)，根据
cos(α-β)＝cosαcosβ+sinαsinβ
得到最终答案A选项。
整个过程下来思路非常的丝滑，主要原因便是本题的条件引导足够明确，让考生在答题时得以逐渐向正确的方向上靠拢，这才是一道高质量的三角函数题应该有的样子。除此以外，我们还可以再举一例，来看看去年的高考题：
看到这两个条件，我们理应向正弦的差角公式方向上思考，根据
sin(α-β)＝sinαcosβ-cosαsinβ
得到sinαcosβ＝1/2。再看题目所求，如果将所求式展开计算量会无比庞大，因此我们选择换元法。令α+β=θ，则我们只需要求出cos2θ即可。我们知道，余弦的二倍角公式有三种形式：
cos2θ＝cos²θ-sin²θ cos2θ＝2cos²θ-1 cos2θ＝1-2sin²θ
选择哪一个更好呢？先看已知，我们已有sinαcosβ=1/2和cosαsinβ=1/6的条件，因此应该先把sinθ求出来：
sinθ＝sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ=2/3
既然有了sinθ=2/3的条件，我们应该使用第三个公式，解出cos2θ＝1/9，即B选项。
分析发现这两道高考题都具有引导明确的共性，因此遇到三角函数的题目切勿慌张，顺着题目的提示一步步往下推，只要公式掌握牢固这类题一定能稳定得分。
第5题——侧面积公式，你还记得吗？
题目说底面半径相等我们就设其为r，我们知道圆柱的侧面积公式是2πrh，圆锥的侧面积公式是πrl（l是母线长），h又给了是，根据条件侧面积相等我们可直接解出
。
接下来我们把目光放到圆锥上，我们知道在圆锥的轴截面上满足勾股定理h²+r²=l²，从而解出r=3。最后一步算出圆锥体积，选出B选项。
不爱走寻常路的高考总爱从公式上下黑手，前几年一直在考台体的体积公式，这次考到了柱体和锥体的侧面积公式，因此在备考过程中要注意回顾那些细微的基础知识，千万不能有遗漏。
第6题——高一也能做的函数题
我们首先应该知道，想要让一个分段函数单调递增需满足以下两点性质：
在每一段区间上都单调递增
端点处满足单调递增（端点处值可不连续）
我们先看x＜0处的这个函数，eˣ和ln(x+1)在定义域上都是增函数，因此这个函数就是增函数。接下来我们再看这个函数在端点处的值，令x=0得到对应的函数值是1，因此x＜0处的函数值不可能比1大。
再看x≥0处的这个函数，本质上是一个二次函数，对于二次函数，我们应关注它的对称轴x=-a，因为对称轴往往意味着一段单调区间的结束。这个函数开口向下，所以在(-∞,-a)上单调递增。根据题干的单调递增要求，可见定义域一定包含在单调递增区间内，因此-a≥0，即a≤0。
（为什么这里可以取等？因为x＜0处的这个函数的定义域不包括0，所以即使a取0该函数仍然满足在定义域上单调递增，后面同理）
上界确定了再看下界，我们根据上述分段函数的第二点性质，在上面这个函数上令x＝0得到对应的函数值-a，又因为x＜0处的函数值不可能比1大，则有-a≤1，即a≥-1。两个条件相结合，最终答案为B选项。
以上为常规思路分析，当然，作为一道单选题，我们无需如此严谨地进行分析，更快的做法是根据选项进行特值排除。令a＝1，发现上面的函数正好凑成了一个完全平方式-(x+1)²，该函数在(-1,0)上单调递减，不合题意，直接将C、D两个选项排除；接下来的问题是a能取到负无穷吗？显然不行，因为x＜0处的这个函数在端点0处取的值是-a，让a减到负无穷，端点处的值就增到了正无穷，肯定无法满足分段函数单调递增的第二点性质了，所以A选项也能排除掉。
第7题——回归课本？
这题就是老老实实地在草稿本上画好坐标系，两个图都准确画出就行了。
有意思的是，这题的函数与必修一教材例题上的函数如出一辙，甚至图象都已经给你画好了，直接看出有六个交点。
可以看出命题人在尽力地引导大家回归课本，但我个人认为，不必太盲目地去钻研课本。你想要的考点一轮复习书上一定会全给你展示一遍，课本上的题目还是太基础了。与其去把课本上的练习题做个遍，还不如刷几套高质量的模拟卷查缺补漏一下。假如你恰好在考前看到了这个例题，就一定能想到这会是高考原题吗？在高考考场上就一定能如鱼得水，毫不费力地解出来吗？相反，假如你没仔细研究过教材，在考场上看到了这道题，你并不知道这是课本上的原题，但你就一定答不出来吗？
当然还有人拿2022年的高考题说事：“课本上都有泰勒展开的式子了，未来很有可能会考，一定要多加记忆！”对于这种观点我无法苟同。首先，泰勒展开的公式即使在高中教材的课后习题上有所涉及，但它仍然不属于高中生应当掌握的知识范畴，如果高考题考这个，那就是超纲，就应该进行批判。这也是我认为2022年新一卷那道比大小的题出得相当失败的原因，首先这道题很难想到要将具体的数值抽象成函数，然后作差求导判断单调性，即使想出来了计算量也堪比大题。如果用泰勒展开呢？的确，计算量简便了，题目也好选多了，那么这道题的意义是什么呢？告诉大家学大学知识远比学那些构造函数什么玩意儿的方法快多了？这不是引导考生走向提前学大学知识的歪路吗？我以为其影响之恶劣与九省联考的那道数论题相当。
以上均为个人观点，若有不同意见还请大家在评论区友善讨论。
第8题——披着函数外衣的数列题
题目里涉及到的都是正整数，所以这道题其实完全是一个数列题，而且是斐波那契数列（从第三项开始 ，每一项都等于前两项之和的数列）。后面的条件看起来玄而又玄，其实就是告诉你f(1)=1，f(2)=2，也就是数列的前两项已经告诉你了，让你接着推后面的项，不要被这个大于号唬住了。
其实我就被这个大于号唬住了……本来看出来了是斐波那契数列但是因为这个大于号不敢往下推了……然后我一看前面选择2A2B2C1D，然后我盲猜选项平均分配于是选了D……以后这种东西不要全信啊呜呜呜（血的教训）
这题最笨的方法是一项一项地往下推，推到f(10)＞55而不是100，A选项排掉；接着推到f(20)＞6765，已经远超1000了，于是选择B选项。
但是很显然一项一项地推并不是命题人的本意，所以我们借着这道题来讲一个不太常见的知识点：二阶线性递推数列。
（其中p、c为实数，题目中会给出具体数值）的递推数列称之为一阶线性递推数列，这个递推数列在平常考试中更为常见，对此我们往往使用待定系数法来求出它的通项公式，具体方法如下：
，这样我们就能凑出
这样一个等比数列，首项是a₁+m，公比是p。我们再把这个式子还原回去，变成
，从而得到
，因此该数列的通项公式就可以求到了。
（其中p、q为实数，题目中会给出具体数值）的递推数列称之为二阶线性递推数列，我们继续尝试用待定系数法来求出它的通项公式：
，这样我们就能凑出
这样一个等比数列，首项是a₂+ma₁，公比是n。我们再把这个式子还原回去，变成
，从而得到n-m=p，mn=q这两个方程。
可以看出，斐波那契数列其实就是一个特殊的二阶线性递推数列，p和q都为1，我们来推一下它的通项公式：
或
。
分别代入两组解，得到斐波那契数列的通项公式：
其实，一阶线性递推数列有更加简便的不动点求法，二阶线性递推数列同样有更加简便的特征根求法，碍于篇幅限制，此处不再展开细讲。
除此以外，斐波那契数列还可以和马尔科夫链（一种随机过程，其中系统的下一个状态仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关）相结合，我们来看一道题：
遇到此类题，我们往往从最简单的情况开始找规律。令n＝1，显然只有A→1这一种走法符合题意，因此a₁＝1；令n＝2，有A→2和A→1→2两种走法，因此a₂＝2；令n＝3，有A→1→3，A→2→3，A→1→2→3三种走法，因此a₃＝3；令n＝4，有A→2→4，A→1→2→4，A→1→3→4，A→2→3→4，A→1→2→3→4五种走法，因此a₄＝5……
。太巧了，这不正是斐波那契数列吗？当然此题我们无需再求出它的通项公式了，我们关注题目中所问的
这个数列，写出几项后发现它实际上就是一个1和-1来回交替的摆动数列，这里令n＝2024，得到最终答案-1，选择B选项。
回顾一下这道题，我们是如何推出这个数列的递推式的？我们是从简单的情况开始考虑，一步一步往后推，最终发现了规律。这个思路非常重要，最后的新定义大题中我们也会用到它。
第9题——正态分布在新一卷中的首秀
没记错的话这应该是新一卷第一次考正态分布，首先要注意亩收入增长前后变的只有均值，标准差一直是0.1。
先看亩收入增长前，均值为1.8，因此P(X＞2)=P(X＞μ+2σ)，显然小于0.2，因此A错B对。
再看亩收入增长后，均值为2.1，因此P(Y＞2)=P(Y＞μ-σ)。而正态分布函数具有高度的对称性，易得P(Y＞μ-σ)＝P(Y＜μ+σ)≈0.8413，因此C对D错。
整道题其实并不难，关键是在考场上能不能稳住心态把关系给捯明白了。
第10题——三次函数重出江湖
2022年的新一卷多选也考了一道三次函数的题，但这道题明显不那么白给了，我们先求导来分析一下单调性。f'(x)=3x²-12x+9，是个二次函数，我们直接十字相乘求一下它的零点，一个是1，一个是3，因此我们根据导函数的图象得以分析出f(x)的单调性：
在(-∞,1)上，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
在(1,3)上，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
在(3,+∞)上，f'(x)＞0，f(x)单调递增。
显然x＝3是f(x)的极小值点，A对；B、D选项考的其实都是函数的比较大小问题，对于此类题型，我们往往需要进行以下两步操作：
判断函数在所属区间内的单调性
脱掉函数这层“衣服”，算出自变量的取值范围
先看B选项，f(x)在(0,1)上单调递增，因此脱掉函数“衣服”后不等号方向不改变，即x＜x²，解出来x＜0或x＞1，正好与题设反了，因此B选项错误；再看D选项，f(x)在(-1,0)上单调递增，因此脱掉函数“衣服”后不等号方向不改变，即2-x＞x，解出来x＜1，题设中的-1＜x＜0包含在x＜1的区间内，因此D选项正确。
对于C选项，我们使用整体法。当1＜x＜2时，1＜2x-1＜3，因此我们只需要分析(1,3)上函数的值域就好了，结合图象发现正好就是题中的(-4,0)，因此C选项正确。
此题考查函数和导数的基本功，毕竟导数一开始的作用就是用来判断函数的单调性嘛。（所以是谁研究出了那么多丧心病狂的导数压轴题型，给我滚出来啊啊啊）
第11题——胆量大考验
我们先顺着选项和题干的引导往下看，提取出两点关键信息：
曲线过原点
曲线上的点到(2,0)的距离与定直线x=a(a＜0)的距离之积为4
代入，它与点F之间的距离是
，与直线x=-2之间的距离是
，两者相乘正好等于4，于是B也正确。
C和D就比较难判断了，在这里我要分享一个自己总结出来的非常有用的应试技巧：在难度较高，且选项顺序按难度递增的多选题中，最难的D选项在99%的情况下都是正确的。
显然这里的“难度较高”大部分情况下指的就是多选最后一题，对于结论的正确性，我们可以举几道曾经的高考题作为例子：
2022年新高考两套卷的多选最后一道题中四个选项的难度就不是递增的了，因此不符合以上规律。
这个现象背后的逻辑是什么呢？我们知道，高考本质上是一场选拔性考试，身为最后一题，出题人一定要让成绩好的和成绩不好的拉开差距，从而挑选出人才。因此，对于最难的选项，成绩不好的更有可能会直接跳过，而成绩好的更有可能会进行尝试，从而算出正确答案，因此这个选项就成为了拉开成绩的关键，出题人一定会在这里设置得分点。
当然可能也有人会问，高考现在一直在强调反套路，那万一出题人把最难的选项也设置为错误选项呢？我可以给出我的答案：基本上不可能。正如我们前面所分析的那样，这个思路跳脱于题目之外，是无懈可击的。如果出题人这样做，那就是违反了高考的核心原则，是不容许出现的。正因如此，我在考场上做这题时心一横，大胆地选择了ABD三个选项，后来事实证明这次赌对了。
，等式两边同时平方得[(x-2)²+y²](x+2)²=16，C、D两个选项都与纵坐标有关，因此我们将等式左侧只留下y，得到
，左侧的
是不是很眼熟啊？这不正是我们的D选项吗，我们只需要稍加放缩就能得到待证的
这个式子了，什么时候取等呢？当然是当(x-2)²=0，也就是x＝2时取等啦，因此D选项正确；我们再来看C选项，题目中的“第一象限”意味着x＞0，我们关注根号内的这个函数，当x＞2时，
是减函数，-(x-2)²也是减函数，因此整个函数就是减函数；当0＜x＜2时，
仍然是减函数，但是-(x-2)²是增函数，此时无法判断整个函数的单调性了，我们需要进行求导分析。令
，则
，我们将x³+4x²-16这个函数单拎出来，令g(x)=x³+4x²-16，则g'(x)=3x²+8x，显然g'(x)＞0在(0,2)上恒成立，因此g(x)在(0,2)上单调递增。又因为g(1)=-11，g(2)=8，根据零点存在定理得到∃x₀∈(1,2)，使得g(x₀)＝0。所以当0＜x＜x₀时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x₀＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减。因此当x＝x₀时，f(x)取到最大值，我们只需要将f(x₀)和1进行比较即可。又因为f(2)=1，所以f(x₀)必然大于1，即该曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于1，C选项错误。
如果我们直面硬刚C、D两个选项，就需要对纵坐标的函数进行非常细致地分析，其中还涉及到放缩、隐零点等进阶解题思路，既需要计算量，也需要思维量。所以，你是选择花费一些时间计算求稳，还是直接大胆选出D选项不浪费时间呢？
第12题——白开水双曲线定义题
既然|AB|＝10，那么|AF₂|就等于5了，此时△AF₁F₂构成了一个边长为5,12,13的直角三角形，即|F₁F₂|＝2c＝12，即c＝6。同时根据双曲线定义得到|AF₁|-lAF₂|＝2a＝8，即a=4，所以离心率e=c/a=3/2。
圆锥曲线的题，尤其是小题中，定义是重中之重，基本上必考，要着重注意。在这道题中AB还是通径（过圆锥曲线的焦点且与过焦点的轴垂直的弦），在椭圆和双曲线中通径的长度都为2b²/a。怎么推呢？在曲线方程中令x=c即可。
第13题——公切线问题幼年版
公切线问题其实并不是很好算，但奈何这题已经把切线方程给你了导致计算难度骤降……先得到切线方程为y=2x+1，斜率为2，因此另一条曲线y=ln(x+1)+a在点(x₀,y₀)处切线的斜率也是2。先对该函数求导得到，所以
，解出x₀＝-1/2，从而得到y₀＝a-ln2。点斜式列出点(x₀,y₀)处的切线方程y＝2x-2x₀+y₀，对应项系数相等得到y₀-2x₀＝1，从而解出a=ln2。
正如前面所说，此题并不是公切线问题的完全形态，我们来看一道曾经的高考题：
第一问的问法其实和这道填空题差不多，直接跳过；我们来看第二问，在切线方程无法直接写出的情况下，公切线问题的固定解法是设两个切点，写两次切线方程，对应项系数相等得到两个式子。我们用点斜式写出f(x)在点(x₁,f(x₁))处的切线方程，代入化简之后得到y＝(3x₁²-1)x-2x₁³；g(x)的切点题目没给，要自己设出来为(x₂,g(x₂))，再用点斜式写一遍切线方程，代入化简之后得到y＝2x₂x-x₂²+a。对应项系数相等，得到3x₁²-1＝2x₂，2x₁³＝x₂²-a两个方程，题目让求a的取值范围，我们直接将a只用一个变量表示即可。x₁在两个方程中既有二次项也有三次项，不容易被消掉，因此我们选择消掉x₂，用x₁表示a，接下来求导分析函数值域即可。
第14题——高端的题目往往只需要采用最朴素的穷举法
首先应当明确的是甲的总得分不可能为4，因为甲有最小的数字1，而乙选任何一张卡片都能胜过甲的1。接下来最重要的一点是出牌顺序不影响最终结果。如何理解呢？我们以甲得3分的情况入手，此情况较为特殊，出牌的策略也是经典的“田忌赛马”战术：甲出1，乙出8；甲出3，乙出2；甲出5，乙出4，甲出7，乙出6。为了思考方便，在介绍出牌策略时把甲的出牌放在前面，但我们不妨假设让乙先出牌，乙难道只有8,2,4,6这一种出法吗？显然不是，乙的出法是任意的。但甲只需要做到按照此种出牌策略，乙出什么牌，甲就出该策略下对应的牌，最后一定会拿到3分。推而广之，甲只要事先拟定好一个策略，乙出什么牌，甲就出这种策略下对应的牌，最后就能得到在这种策略下对应的分数，因此我们得到了以上结论。
基于以上两点，我们可以固定一个人的出牌顺序，从而达到减少样本空间的效果。我们不妨就设甲的出牌顺序为1,3,5,7，而乙一共有，也就是24种出法。接下来开始穷举（红字表示不符合题意，蓝字表示符合题意）：
乙出2,4,6,8，甲得0分；
乙出2,4,8,6，甲得1分；
乙出2,6,4,8，甲得1分；
乙出2,6,8,4，甲得1分；
乙出2,8,4,6，甲得2分；
乙出2,8,6,4，甲得1分；
乙出4,2,6,8，甲得1分；
乙出4,2,8,6，甲得2分；
乙出4,6,2,8，甲得1分；
乙出4,6,8,2，甲得1分；
乙出4,8,2,6，甲得2分；
乙出4,8,6,2，甲得1分；
乙出6,2,4,8，甲得2分；
乙出6,2,8,4，甲得2分；
乙出6,4,2,8，甲得1分；
乙出6,4,8,2，甲得1分；
乙出6,8,2,4，甲得2分；
乙出6,8,4,2，甲得2分；
乙出8,2,4,6，甲得3分；
乙出8,2,6,4，甲得2分；
乙出8,4,2,6，甲得2分；
乙出8,4,6,2，甲得1分；
乙出8,6,2,4，甲得2分；
乙出8,6,4,2，甲得2分。
符合题意的总共有12种情况，因此概率为12/24=1/2。
说实话我完全没想到最后的结果会那么简单，一开始看这道题半天没思路，想着之后大题做差不多了再来穷举试试，谁知最后大题也把我给卡死了，这道题没时间做了。有那么一个瞬间我确实想猜答案是二分之一的，但又一想情况那么复杂最后的答案应该也不是个好看的数吧就放着没动，考完之后看到答案是二分之一直接给我气炸了。所以这里奉劝各位填空题千万不能空着，猜也要猜个数上去，不要犯我这种错误啊呜呜呜（血的教训）
第15题——最简单的竟然是初中几何法？
看到诸如a²+b²-c²的式子一定要下意识地想到余弦定理，从而得到。又因为C∈(0,π)（注意此步必写！一定要注意书写规范！），所以C=π/4（答题卡上建议写弧度制）。根据题干条件得到cosB=1/2，又因为B∈(0,π)，所以B=π/3，得到第一问答案。
，但是我们已知的只有角，要算边的话就要借助正弦定理了，不是那么好求。我们不妨来看一下这个三角形，C是45度角，B是60度角，A是75度角，这个三角形是相当特殊的，此时我们过点A作BC的高线AD，这样我们就把这样一个锐角三角形内部划分成了两个特殊的直角三角形：含30度角的直角三角形（边长之比为
）和等腰直角三角形（边长之比为
）。
，三角形面积我们用
算，得到
，因此
。
我在考场上就是用这个方法算的，意想不到的顺利，当然这样的辅助线思路来源于平时做到过的类似的题，因此在考场上才能迅速反应过来。此题再次体现出解题时策略选择的重要性，但这题体现得其实还不是那么明显，接下来的圆锥曲线才真正把它体现得淋漓尽致。
第16题——算之前要多思考
第一问将两个点坐标代入椭圆方程即可，得到a²=12，b²=9，c²=3，因此离心率e=c/a=1/2。（怎么又考离心率，是不是没活整了）
第二问才是重头戏，不同的解题思路将导向不同的计算量。如果直接用点斜式设出直线方程，首先要讨论其斜率不存在的情况（计算后发现不符合题意，舍去，但此情况必须写上），然后根据面积条件算出斜率。此办法最不用动脑子，但随之而来的是相当庞大的计算量，在考场上会耽误很多时间，结果也很难算对。（我就是用这种法然后算错了呜呜呜）
还有什么方法呢？我们可以“避重就轻”，不直接去求直线的方程，转而去求点B的坐标，由此得到以下三种思路：
点A，点P坐标已知，因此直线AP的方程已知，设出点B坐标(x₀,y₀)后分别算出点B到直线AP的距离和AP的弦长，利用二分之一底乘高的三角形面积公式得到第一个表达式，同时点B还在椭圆上得到第二个表达式，从而解出点B的坐标。
设出直线AB方程y＝kx+3（同样要先讨论其斜率是否存在），分别算出点P到直线AB的距离和AB的弦长，利用二分之一底乘高的三角形面积公式求出直线AB的斜率，从而解出点B的坐标。
本题只有点B一个动点，我们从而想到可以利用参数方程来进行求解。参数方程是老教材的内容，与极坐标相联系，但是我们即使在新教材中不再学习参数方程，掌握它仍然是有必要的。碍于篇幅限制，参数方程的相关内容不再展开说明。
我们当然还有别的思路，观察能力足够强的同学应该能够发现B点的一个特殊位置正好是(0,-3)。根据对称性，我们可以过该点作一条平行于AP的直线，该直线与椭圆的另外一个交点即为另一个B点所在的位置。当然，三角形的面积除了二分之一底乘高的求法以外还有二分之一水平宽乘竖直高的铅锤求法，所以本题的方法有很多很多，但偏偏思路最简单的最难算，这就启示我们在某些题中算之前要多思考，不一定要遵循求谁设谁的规则。在未来的高考中，通过策略的合理选择来减少计算量很有可能就是与其他人拉开差距的关键。
第17题——一图两用
，正是含30度角的直角三角形的边长之比，于是我们得到BC⊥AB，同旁内角互补得到AD∥BC，进而推出AD∥平面PBC。
此处我只是大致讲了一下思路，立体几何中证明线面、面面之间的平行、垂直关系时推导过程要求是非常严格的，一定要按照教材上的格式进行书写。
第二问就不像第一问这样无脑了，我们首先要分析谁在动。AB，BC，AC的长度都是固定死了的，因此动的只有点D，根据AD⊥DC的条件我们推出点D的轨迹是以AC为直径的圆。接下来我们根据题目的垂直条件建系，点B处有垂直条件可建系，但整个第二问与点B都没什么关系，因此我们不优先选择它；点D处也有垂直条件，且与题目所求紧密相关，我们以点D为原点建系。设AD=x，那么在△ACD中根据勾股定理得到，接下来写出坐标，A(x,0,0)，
，D(0,0,0)，P(x,0,2)，最后只需要根据二面角条件算出x即可。（注意这里二面角的大小是正弦值，要转成余弦值才能进行计算操作！）
法向量还有一个简便的算法：叉乘。我们在高中学过向量的数量积，又称内积，其运算符号为·，你可能会想过为什么不用乘号连接这两个向量呢？实际上，乘号表示的是向量的另一种运算，也就是我们要讲的叉乘，又称外积。叉乘的计算结果是一个垂直于两向量所构成平面的，模等于两向量模之积的向量，其方向由右手定则确定。当然在高中阶段我们只需要了解其坐标运算方法即可，在三维空间中，设，则由向量
构成的平面的法向量
。在高考中此方法可用，且大大简化了计算量，建议每位同学都要掌握它。
第18题——重登难题王位的导数
导数在去年新一卷中被下放到了中档题的位置，在今年的九省联考中甚至被放在了第一道大题的位置，很多人因此推断导数从此以后就会变简单，但其实这样的看法是片面的。实际上，2023年只有新一卷的导数题号提前了，另外三套卷的导数仍然保持了最后一题的难度，而今年新一卷的导数重登难题王位，也是狠狠地打了这些人的脸。即使今年的新二卷中导数沦为第二道大题，新二卷区的考生仍不能放松警惕，导数难题的训练仍然是有必要的。
我们来看这道题，这个函数对它求导显然并非易事，这时我们应想到对数的运算法则：
，注意真数大于0的条件，从而得到定义域0＜x＜2。定义域的条件非常关键，为了防止忘记写这个条件，我个人建议每次求完导后立即在后面写上定义域。
先看第一问，根据条件我们直接分离参数得到，接下来令
，求导得
。当0＜x＜1时g'(x)＞0，当1＜x＜2时g'(x)＜0，因此g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减。因此g(x)在x＝1时取得最大值-2，得到a≥-2。
第二问一定要注意中心对称图形不一定关于原点对称但一定关于定义域中心对称！我正是在考场上陷入了这个误区才导致这题的思路直接错了，一分也没得到手。只要认识到这点第二问就会出得相当快，定义域中心的横坐标为1，我们将其代进去得到f(1)＝a，所以我们只需要证出f(x)+f(2-x)＝2a即可。
第三问“当且仅当”的限制条件特别有意思，如何理解呢？实际上，这句话包含了两层意思：当1＜x＜2时，f(x)＞-2；当0＜x≤1时，f(x)≤-2，那么f(1)是多少呢？当然就是-2啦！我们直接代入得到f(1)＝a＝-2，因此本问实际上只有一个参数b。对于此类给定x范围的问题，我们优先选择端点分析。既然f(x)在1处的函数值为-2，那么想让f(x)＞-2在(1,2)上恒成立，f(x)就必然会在端点1处单调递增。前面我们已经对f(x)求过一阶导，代入发现f'(1)＝0，说明一阶导不够用，还要求二阶导。对f(x)求二阶导得到，代入发现f''(1)＝0，说明求二阶导还是不够用，继续求三阶导。对f(x)求三阶导得到
，代入得到f'''(1)＝6b+4，总算不是0了，根据以上条件推断f'''(1)≥0，即b≥-2/3。做到这里还不够，我们只能说明b≥-2/3是使设问成立的必要条件，充分性是否成立我们还需将b≥-2/3代回去进行检验。
我们的思路是只要证出当b≥-2/3时满足f'(x)≥0，即原函数一直单调递增即可。我们的常规操作是变换主元，将导函数看成以b为自变量的函数，将x视作参数，那么在该函数中含b的项只有3b(x-1)²一个，其系数3(x-1)²在定义域内恒为正，因此我们可以进行放缩，得到，我们只需证该函数大于等于0即可。
端点效应在高考的导数大题中是热门考点，每一年的高考题中一定会至少有一套卷子用到它。但是，此方法是有一定局限性的，得到的不一定是最后的答案，我们以一道曾经的高考题为例：
，我们仿照上面的思路，注意到g(0)=0，要想g(x)≥0恒成立，g(x)就必然会在端点0处单调递增。对g(x)求一阶导得到
。代入发现g'(0)=0，说明一阶导不够用，还要求二阶导。对g(x)求二阶导得到g''(x)＝eˣ-3x+2a，代入得到g''(0)=2a+1，根据以上条件我们推断g''(0)≥0，即a≥-1/2。同上，做到这里还不够，我们仍需将a≥-1/2这个结果代回去检验来说明充分性成立。但一代回去就出现问题了，放缩后的这个函数并不恒大于等于0。
问题出在哪了？答案在我们代入端点值的这个函数的单调性不是恒定的。我们来看eˣ-3x+2a这个函数，它的导函数是eˣ-3，它在[0,+∞)上并不是恒正的，也就意味着原函数单调性不恒定，也就意味着这个函数的最小值点并不一定在0处。因此在这样的条件下，端点效应不可用了。
如何将其变为符合题意的条件呢？我们现在已经知道这个函数会有另一个极小值点了，我们不妨设其为x₀，要想g(x)≥0，那么也一定要让g(x₀)＝0，同时还要满足g'(x₀)＝0。接下来就是隐零点常用的代入消元解法了，最后解出x₀除了0以外，另一个取值是2。于是我们只需要让g(2)≥0即可，得到最后的正确答案是。
第19题——瞧好了，这才叫新定义！
总算到了万众瞩目的新定义问题了，这次的新定义问题符合了高考的命题水准，不搞偏难怪，不涉及大学内容，题干的阅读上也没有设置特别大的障碍，此类新定义问题将会是未来备考时的标杆，能力强的同学们一定要仔细研究透这道题。
我们来看第一问，第一问只有六项，我们不妨就直接设这六项分别为1，2，3，4，5，6，正好还与下角标一一对应。根据题意，我们只需要删去两个数，使得删掉这两个数之后剩下的四个数仍然为等差数列，穷举即可得出满足条件的有(1,2)，(5,6)，(1,6)三种情况，因此第一问我们没有花很长时间就做完了。很多成绩不好的同学会对新定义题带有一种恐慌，认为这种题自己一定答不出来。实际上，无论新定义题再怎么难，第一问一定稳定送分，因此无论是谁对于此类题都一定不能全盘放弃，至少要拿到第一问的分。
接下来看第二问，证明思路应该是什么呢？我当时凭直觉立刻想到了数学归纳法。数学归纳法作为教材中的选学内容，在考试中很少出现，但随着19题模式的到来，我认为此知识点必将会在新定义的证明题中大放异彩，果不其然这题就暗含着数学归纳法的思想。
我们先来简单回顾一下数学归纳法的概念：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n₀(n₀∈N*)时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n=k(k∈N*,k≥n₀)时命题成立”为条件，推出“当n＝k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n₀开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction).
显然本问中n₀应该取3，我们先证m＝3时命题成立：
当m＝3时，该数列为a₁，a₂，…，a₁₄。我们仍然直接设这14项分别为1,2，…，14，接下来去掉2和13这两项，剩下的12个数要分成三组等差数列。经过简单的尝试后，我们发现{1,4,7,10}、{3,6,9,12}、{5,8,11,14}这三组是符合题意的，因此m=3的情况下该命题成立。
接下来假设当m=k(k∈N*,k≥n₀)时命题成立，那么当m＝k+1时，这个数列实际上只是结尾多出来了四项，而多出来的四项恰好又可以自己构成一个等差数列，因此m＝k+1时该命题仍然成立，所以该命题对任何m≥3都成立。
。接下来我们将m＝k+1时的数列列出，为方便理解，我们还是全用正整数代替：1,2，…，4k+2，4k+3，4k+4，4k+5，4k+6。
我们先分析j＝4k+6时的情况，这时候我们就需要用到第二问的思路了，我们是怎么证出当m＝k+1时这个数列是(2,13)-可分数列的？关键点是后面多出来的四项会自己构成一组等差数列。我们将这个思想运用到这里，i＝1时显然满足题目要求，那么如果将前四项自行构成一组等差数列，发现i＝5时也同样满足题目要求。以此类推，当i＝1,5,9，…，4k+5时都满足题目要求，总共有k+2个符合题意的i。
接下来分析j＝4k+5的情况，一开始看貌似毫无头绪。但如果这时我们注意一下第二问的解题思路，题目的玄机就被我们破解了。我们在第二问中证明了当m＝3时这个数列是(2,13)-可分数列。出题人为什么要这么设问？仔细思考2和13背后的含义之后，一个猜想浮现于脑海：是不是这个数列只要将正数第二项和倒数第二项去掉后，剩下的数一定可分？
为了验证这个猜想，我们先代个m＝2试一试，将正数第二项2和倒数第二项9去掉后，我们发现剩下的8项正好可以分成{1,3,5,7}和{4,6,8,10}两组等差数列。再代个m=4呢？将正数第二项2和倒数第二项17去掉后，我们发现剩下的16项正好可以分成{1,5,9,13}、{3,7,11,15}、{4,8,12,16}、{6,10,14,18}四组等差数列。分析每组等差数列，我们发现它们的公差都恰好等于m。这显然不是巧合，根据这种思路得到的启发，我们可以列出以下的数表：
1 2 3 4 ... m
m+1 m+2 m+3 m+4 ... 2m
2m+1 2m+2 2m+3 2m+4 ... 3m
3m+1 3m+2 3m+3 3m+4 ... 4m
4m+1 4m+2
这个数表非常直观地展示出了我们发现的规律，以m个为一行，这样就保证了相邻两行之间公差为m；颜色相同的分为一组，可以看到每一列都正好是四个数凑成了一组等差数列（当然这里2和4m+1这两项已经被去掉了，不在考虑范围内），因此我们的猜想得证。
当然当m＝1时这个猜想就不成立了，因此我们还要再加上一个m≥2的限制条件。再仿照着前面的思路，我们发现当i＝2,6,10，…，4k-2时都满足题目要求，总共有k个符合题意的i。
和
之间的不等关系：
。忽略不等号的影响，对于这样一个递推式，想求出它的通项公式，首选的方法必然是累加法，从而得到
，也就是
，所以
。
这道新定义大题给了我们许多启示：首先，不要忽视前面的设问，里面的答题思路很有可能会在答最后一问时帮助到你；其次，我们要学会从简单的情况一步步尝试，最终就有可能会得到对于解题至关重要的结论。当然，此题第三问极为困难，如果时间不充裕完全可以放弃掉。对于即将参加高考的考生，我的备考建议是如果基础知识有问题就先抓基础知识，在前面的题目基本上丢分不超过十分后（建议在高三下学期之前完成）可以考虑去找一些新定义的大题做。注意不要做那类生搬硬套大学知识的“新定义”大题，基本上一点帮助都没有，高考的新定义一定会限制在高中知识的范畴内。我推荐去做做北京卷的新定义大题，开拓一下眼界。
-结语-
以上便是试卷的全部解析，这次考试之后我最大的感受就是，对于一个卷子的难度，只有当你身临其境坐在了高考考场上，你才更有可能得出比较客观公正的评价。B站上有一位up主叫ToMath小火车，和我一样也是河北的，他作为一名老师去参加了这次高考，复盘时说自己“患得患失的想法特别严重”，我是非常能感同身受的，平常模拟考中算完答案直接走人的集合复数那类简单题我也验算了好几次，生怕自己算错痛失五分。这次在考场上我也犯了一些事后看来十分迷惑甚至可笑的错误，例如第18题第一问愣是没想出来分参，第二问以为中心对称图形必须关于原点对称，然后看到定义域是(0,2)直接傻眼了，冥思苦想半天都没转到正确的方向上，甚至以为是题出错了，导致本来得心应手的导数题最后只拿到了求导分，非常可惜。所以在考场上发生什么都是未知数，心态一定要稳定，不要在阴沟里翻船。
本专栏耗费了大量心血，以一名亲身经历了2024年高考的考生视角，从试卷题目出发分析考点，依据自己高中三年的题库进行适当拓展，也分享了自己在答题时的心路历程以及经验教训，干货不可谓不多，希望能对未来即将参加高考的各位考生有所帮助。在本专栏的制作过程中，我参考了B站上的很多视频，也与一些朋友进行了交流，学习到很多，在此一并表示感谢。
最后也要感谢看到这里的你，祝未来一帆风顺。