【格物致知·几何】5-5-05一般二元二次方程的讨论『数理化自学丛书6677版』

作者：山嵓发布时间：2024-09-14

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第五章坐标变换和二元二次方程的讨论

§5-5一般二元二次方程的讨论

【01】二元二次方程的一般形式是 Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0，其中二次项的系数 A，B，C 不能同时为 0 。

1、

【02】在二元二次方程中经过移轴和转轴处理后，我们来考察所得到的新方程和原方程系数间的关系。

【03】如果把两轴同时转过角 θ，由转轴公式

$%5Cscriptsize%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3Dx'%5Ccos%5Ctheta-y'%5Csin%5Ctheta%2C%5C%5Cy%3Dx'%5Csin%5Ctheta%2By'%5Ccos%5Ctheta%2C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

【04】代入原方程，得

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26A(x%5E%7B%5Cprime%7D%5Ccos%5Ctheta-y%5E%7B%5Cprime%7D%5Csin%5Ctheta)%5E%7B2%7D%2BB(x%5E%7B%5Cprime%7D%5Ccos%5Ctheta-y%5E%7B%5Cprime%7D%5Csin%5Ctheta)(x%5E%7B%5Cprime%7D%5Csin%5Ctheta%2By%5E%7B%5Cprime%7D%5Ccos%5Ctheta)%5C%5C%26%2BC(x%5E%7B%5Cprime%7D%5Csin%5Ctheta%2By%5E%7B%5Cprime%7D%5Ccos%5Ctheta)%5E%7B2%7D%2BD(x%5E%7B%5Cprime%7D%5Ccos%5Ctheta-y%5E%7B%5Cprime%7D%5Csin%5Ctheta)%5C%5C%26%2BE(x%5E%7B%5Cprime%7D%5Csin%5Ctheta%2By%5E%7B%5Cprime%7D%5Ccos%5Ctheta)%2BF%3D0%2C%5Cend%7Baligned%7D$

【05】整理后得【一竖“|”，作括号用】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%26A%5Ccos%5E2%5Ctheta%5C%5C%26%2BB%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%26%2BC%5Csin%5E2%5Ctheta%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7Cx%5E%7B%5Cprime2%7D%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%26-2A%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%26%2BB(%5Ccos%5E%7B2%7D%5Ctheta-%5Csin%5E%7B2%7D%5Ctheta)%5C%5C%26%2B2C%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7Cx%5E%7B%5Cprime%7Dy%5E%7B%5Cprime%7D%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%26%2BA%5Csin%5E%7B2%7D%5Ctheta%5C%5C%26-B%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%26%2BC%5Ccos%5E%7B2%7D%5Ctheta%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7Cy%5E%7B%5Cprime2%7D%5C%5C%0A%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%26%2BD%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%26%2BE%5Csin%5Ctheta%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7Cx%5E%7B%5Cprime%7D%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%26-D%5Csin%5Ctheta%5C%5C%26%2BE%5Ccos%5Ctheta%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7Cy%5E%7B%5Cprime%7D%2BF%3D0%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【06】设所得的这个新方程的形式是

A'x'²＋B'x'y'＋C'y'²＋D'x'＋E'y'＋F＝0，

【07】这里

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26A%5E%7B%5Cprime%7D%3DA%5Ccos%5E%7B2%7D%5Ctheta%2BB%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%2BC%5Csin%5E%7B2%7D%5Ctheta%2C%26%26%5Ctext%7B(1)%7D%5C%5C%26B%5E%7B%5Cprime%7D%3D-2(A-C)%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%2BB(%5Ccos%5E%7B2%7D%5Ctheta-%5Csin%5E%7B2%7D%5Ctheta)%2C%26%26%5Ctext%7B(2)%7D%5C%5C%26C%5E%7B%5Cprime%7D%3DA%5Csin%5E%7B2%7D%5Ctheta-B%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%2BC%5Ccos%5E%7B2%7D%5Ctheta%2C%26%26%5Ctext%7B(3)%7D%5C%5C%26D%5E%7B%5Cprime%7D%3DD%5Ccos%5Ctheta%2BE%5Csin%5Ctheta%2C%26%26%5Ctext%7B(4)%7D%5C%5C%26E%5E%7B%5Cprime%7D%3D-D%5Csin%5Ctheta%2BE%5Ccos%5Ctheta%2C%26%26%5Ctext%7B(5)%7D%5C%5C%26F%5Ctext%7B%E4%B8%8D%E5%8F%98%7D.%5Cend%7Baligned%7D$

【08】由(1)＋(3)，

【09】得 A'＋C'＝A(cos²θ＋sin²θ)＋C(sin²θ＋cos²θ)，

【10】即 A'＋C'＝A＋C 。 (6)

【11】又 2A'＝2A cos²θ＋2B sinθ cosθ＋2C sin²θ，

【12】根据三角公式

cos²θ＝(1＋cos2θ)／2，

sin²θ＝(1－cos2θ)／2，

sin2θ＝2 sinθ cosθ，

【13】代入上式得 2A'＝A(1＋cos2θ)＋Bsin2θ＋C(1－cos2θ)＝(A＋C)＋[(A－C)cos2θ＋Bsin2θ] 。 (7)

【14】同理可得 2C'＝(A＋C)－[(A－C)cos2θ＋Bsin2θ] 。 (8)

【15】从(7)×(8)，得 4A'C'＝(A＋C)²－[(A－C)cos2θ＋Bsin2θ]² 。 (9)

【16】由(2)²，得 B'²＝[－(A－C)sin2θ＋Bcos2θ]² 。 (10)

【17】从(10)－(9)，得 B'²－4A'C'＝(A－C)²(sin²2θ＋cos²2θ)＋B²(cos²2θ＋sin²2θ)－(A＋C)²＝(A－C)²＋B²－(A＋C)²，

【18】∴ B'²－4A'C'＝B²－4AC 。 (11)

【19】如 B'＝0，新方程就成为缺少 xy 项的二次方程 A'x'²＋C'y'²＋D'x'＋E'y'＋F＝0 。

【20】这时(11)式就变为－4A'C'＝B²－4AC 。

【21】又从(6)式和(11)式，说明在一般二元二次方程 F(x，y)＝0 中，通过转轴（0＜θ＜π/2），得到新方程 f(x'，y')＝0，它们的系数 A，B，C 分别变为 A'，B'，C'，但是 A＋C 及 B²－4AC 之值始终未变，所以我们称它们为二元二次方程的不变式。通常是用 H 表示 A＋C，用 ∆ 表示 B²－4AC，即 H＝A＋C＝A'＋C'，∆＝B²－4AC＝B'²－4A'C' 。

【注1】以 x＝x'＋h，y＝y'＋k 代入二元二次方程，通过移轴所得到的新方程的二次项系数不变，即原方程和新方程中的二次项系数完全相同，因此我们可以说，通过移轴或转轴，A＋C，B²－4AC 的值都是不变的。

【注2】利用不变式 H，可以作为检验一个方程经过转轴运算过程所得到的新方程的二次项系数是不是正确的一种方法，因为 A'＋C' 应当与 A＋C 相等的。（但是我们要注意即使 A'＋C' 与 A＋C 相等了，未必 A'，C' 就无错误。只是因为这种方法运用简单，所以介绍于此，仅作参考）

【注3】不变式 ∆＝B²－4AC 与一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0 的判别式 ∆＝b²－4ac 的形式一样（性质不同），很容易记忆。

练习

1、证明 A'－C'＝(A－C)cos2θ＋Bsin2θ 。

2、试从 B'＝0，推到 B tg²θ＋2(A－C)tgθ－B＝0，并解此方程求 tgθ 的正值。

3、为什么说上题中 tgθ 的根(1)一定是实数，(2)一个是正，一个是负，(3)只要取正根而负根不合？

4、通过转轴试证 x²＋y²＝x'²＋y'²，并说明它的几何意义。

2、一般二元二次方程类型的判定

【22】利用上节不变式 ∆，从一个含有 x，y 的二次方程的系数而不需要变轴化简，就可以直接判定它是属于什么类型的曲线的方程，今分别叙述于下：

【23】设所给的方程是 Ax²＋Bxy＋＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0， (1)

【24】其中 B≠0，把坐标轴转过适当的角 θ，使新方程中 xy 的系数 B' 为 0，从本节1中的第(2)式，就必须－2(A－C) sinθ cosθ＋B(cos²θ－sin²θ)＝0，

【25】即－(A－C)sin2θ＋Bcos2θ＝0，

【26】即 ctg2θ＝(A－C)／B (2)【用 ctg2θ 比用 tg2θ 好，因为在 A＝C 时，tg2θ 无意义，而 ctg2θ＝0，又以 B 是假定不为 0 的（否则就不用转轴了），所以 ctg2θ 的值总可求得】

【27】所以 θ＝(1/2)arcctg[(A－C)／B]，就是说，两轴转过这样一个角度后，新方程中就没有 x'y' 项了。

【28】再从三角公式得 $%5Cscriptsize%5Ccos2%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bctg%7D%202%5Ctheta%7D%7B%5Cpm%5Csqrt%7B1%2B%5Cmathrm%7Bctg%7D%5E%7B2%7D2%5Ctheta%7D%7D%3D%5Cfrac%7BA-C%7D%7B%5Cpm%5Csqrt%7BB%5E%7B2%7D%2B%5Cleft(A-C%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%7D$ ，

【29】今已假定 0＜θ＜π/2，故 0＜2θ＜π，2θ 在第Ⅰ或第Ⅱ象限内，cos2θ 与 ctg2θ 的符号相同。

【30】又从三角公式推到

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csin%5Ctheta%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-%5Ccos2%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D%2C%5C%5C%20%5Ccos%5Ctheta%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Ccos2%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D%20%2C%5Cend%7Baligned%7D$

【也可从上面练习第2题求 tgθ 的值后再求 sinθ，cosθ 的值（即不通过 cos2θ）】

【31】由于 θ 恒为锐角，所以 sinθ，cosθ 都是正值。把 sinθ，cosθ 的值代入转轴公式

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Dx%5E%7B%5Cprime%7D%5Ccos%5Ctheta-y%5E%7B%5Cprime%7D%5Csin%5Ctheta%2C%5C%5Cy-x%5E%7B%5Cprime%7D%5Csin%5Ctheta%2By%5E%7B%5Cprime%7D%5Ccos%5Ctheta%5Cend%7Bcases%7D$ 中，

【32】再代入原方程(1)中，就得到新方程 A'x'²＋C'y'²＋D'x'－E'y'＋F＝0 。

【33】今有不变式－4A'C'＝B²－4AC，

【34】所以 ∆＝－4A'C' 。

(1) ∆≠0，就是－4A'C'≠0，也就是 A'，C' 均不是 0，从5-3节的结论，可知它是有心圆锥曲线。【在学习这段以前，应先复习第5-3节】

① ∆＜0 即 A'C'＞0，即 A'，C' 同号，它的图象是椭圆型。

② ∆＞0 即 A'C'＜0，即 A'，C' 异号，它的图象是双曲线型。

(2) 当 ∆＝0，就是－4A'C'＝0，也就是 A'，C' 必有一个是 0 时，它的图象是抛物线型。

【35】关于一般二元二次方程 Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0，它所表示的曲线可以归结为下表：

【36】对于一般二元二次方程，只要根据 ∆＝B²－4AC 的值为负为正或为 0，就可以直接判定它是椭圆、双曲线或抛物线型的曲线方程。这些曲线都是圆锥截面所割成的曲线。所以二元二次方程所表示的曲线是圆锥曲线，因此我们称代数的二元二次方程为圆锥曲线方程，又称 ∆＝B²－4AC 为二元二次方程的判别式。

【注1】圆锥曲线的特例也叫退化圆锥曲线。

【注2】从上面许多例题看来，一个代数的二元二次方程，经过轴的变换，这方程的系数有变动（有的为 0 了），但因为不论移轴或转轴，在它的变换公式中，原来的变数与新的变数（即 x，y 与 x'，y'）间的关系是一次对一次的变换，所以通过轴的变换，所得新方程的次数不会提高；当然也不会降低（即最高次数项的系数不能全为 0），因为假使降低了，那从新方程反转变换过来（即还原到原方程），它的次数就要升高了，这是不合理的。所以：

【37】一个代数方程，通过移轴或转轴，它的次数是不变的。这是解析几何中的一条重要的性质。正因为如此，所以曲线是以方程的次数来区别的，如一次方程为直线，二次方程为圆锥曲线等。因此我们也就叫直线为一次曲线，圆锥曲线为二次曲线了。

例1.作 4xy－3x²＋4＝0 的图象。

【解】

今 ∆＝B²－4AC＝4²－4(－3)·0＝16＞0，所以方程的图象是双曲线型。

现在先转轴，设旋转角是 θ，

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cbecause%5C%3B%26%5Cmathrm%7Bctg%7D%202%5Ctheta%3D%5Cfrac%7BA-C%7D%7BB%7D%3D%5Cfrac%7B-3-0%7D%7B4%7D%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%2C%20%5C%5C%0A%26%5Cfrac%7B%5Ccos2%5Ctheta%7D%7B-3%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csin2%5Ctheta%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Ccos%5E%7B2%7D2%5Ctheta%2B%5Csin%5E%7B2%7D2%5Ctheta%7D%7D%7B%5Cpm%5Csqrt%7B(-3)%5E%7B2%7D%2B(4)%5E%7B2%7D%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpm5%7D%2C%20%5C%5C%0A%5Ctherefore%5C%3B%26%5Ccos2%5Ctheta%3D-%5Cfrac35(%5Ccos2%5Ctheta%5Ctext%7B%20%E4%B8%8E%20ctg%20%7D2%5Ctheta%5Ctext%7B%20%E5%90%8C%E5%8F%B7%7D).%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

又

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Csin%5Ctheta%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-%5Ccos2%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2C%5C%5C%26%5Ccos%5Ctheta%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2B%5Ccos2%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2C%5Cend%7Baligned%7D$

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7Dx%3Dx'%20%5Ccos%5Ctheta-y'%20%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Bx'-2y'%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2C%5C%5Cy%3Dx'%20%5Csin%5Ctheta%2By'%20%5Ccos%5Ctheta-%5Cdfrac%7B2x'%2By'%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D.%5Cend%7Bcases%7D$

代入原方程，

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%E5%BE%97%5C%3B%264%5Cleft(%5Cfrac%7Bx'-2y'%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cfrac%7B2x'%2By'%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5Cright)-3%5Cleft(%5Cfrac%7Bx'-2y'%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%3D-4%2C%20%5C%5C%0A%5Ctherefore%5C%3B%26%5Cfrac%7B4(2x%5E%7B%5Cprime2%7D-3x%5E%7B%5Cprime%7Dy%5E%7B%5Cprime%7D-2y%5E%7B%5Cprime2%7D)%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B3(x%5E%7B%5Cprime2%7D-4x%5E%7B%5Cprime%7Dy%5E%7B%5Cprime%7D%2B4y%5E%7B%5Cprime2%7D)%7D%7B5%7D%3D-4%2C%20%5C%5C%0A%E5%8D%B3%5C%3B%26x%5E%7B%5Cprime2%7D-4y%5E%7B%5Cprime2%7D%3D-4%2C%20%5C%5C%0A%E5%8D%B3%5C%3B%26-%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Cprime2%7D%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B%5Cprime2%7D%7D%7B1%7D%3D1.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

这是双曲线的标准方程，它的实轴长度是 2，虚轴是 4，焦点在 y' 轴上，两渐近线为 x'²－4y'²＝0，即 x' ± 2y'＝0 。

例2.用转轴化简方程 4x²＋4xy＋y²＋6x－12＝0，并且描出它的图象。

【解】

今 ∆＝4²－4·4＝0，它的图象是抛物线型。

原方程是 (2x＋y)²＋6x－12y＝0 。 (1)

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Ctherefore%5C%3B%26%20%5Cmathrm%7Bctg%7D%202%5Ctheta%3D%5Cfrac%7BA-C%7D%7BB%7D%3D%5Cfrac%7B4-1%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%2C%20%5C%5C%0A%E5%8F%88%5C%3B%26%5Cmathrm%7Btg%7D%202%5Ctheta-%5Cfrac%7B2%20%5Cmathrm%7Btg%7D%20%5Ctheta%7D%7B1-%5Cmathrm%7Btg%7D%5E%7B2%7D%5Ctheta%7D%2C%20%5C%5C%0A%5Ctherefore%5C%3B%26%5Cfrac%7B2%5Ctan%5Ctheta%7D%7B1-%5Ctan%5E%7B2%7D%5Ctheta%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D.%20%5C%5C%0A%E5%8E%BB%E5%88%86%E6%AF%8D%5C%3B%262%20%5Cmathrm%7Btg%7D%5E%7B2%7D%20%5Ctheta%2B3%20%5Cmathrm%7Btg%7D%20%5Ctheta-2%3D0%2C%20%5C%5C%0A%E5%8D%B3%5C%3B%26(%5Cmathrm%7Btg~%7D%5Ctheta%2B2)%20(2%5Cmathrm%7Btg~%7D%5Ctheta-1)%3D0%2C%20%5C%5C%0A%5Ctherefore%5C%3B%26%5Cmathrm%7Btg~%7D%20%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%3B%5Cleft(%5Cbecause%5C%3B0%3C%5Ctheta%3C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2C%5C%3B%5Ctherefore%5C%3B%20%5Cmathrm%7Btg~%7D%20%5Ctheta%3E0%5Cright)%2C%5C%5C%0A%E5%8D%B3%5C%3B%26%5Cfrac%7B%5Csin%5Ctheta%7D1%3D%5Cfrac%7B%5Ccos%5Ctheta%7D2%3D%5Cfrac1%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2C%20%5C%5C%0A%5Ctherefore%5C%3B%26%5Csin%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2C%5Cquad%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D.%20%5C%5C%0A%E8%BD%AC%E8%BD%B4%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%98%AF%5C%3B%26%0Ax%3D%5Cfrac%7B2x%5E%7B%5Cprime%7D-y%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2C%5C%3B%20y%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Cprime%7D%2B2y%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%2C%20%5C%5C%0A%E5%8F%88%5C%3B%262x%2By%3D%5Cfrac%7B5x%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%3D%5Csqrt%7B5%7D%20x%5E%7B%5Cprime%7D%2C%5C%5C%0A%E4%BB%A3%E5%85%A5(1)%E5%BC%8F%EF%BC%8C%E5%BE%97%5C%3B%26(%5Csqrt%7B5%7D%20x%5E%7B%5Cprime%7D)%5E%7B2%7D%2B6%5Ccdot%5Cfrac%7B2x%5E%7B%5Cprime%7D-y%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D-12%5Ccdot%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Cprime%7D%2B2y%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%3D0%2C%5C%5C%0A%E5%8D%B3%5C%3B%265x%5E%7B%5Cprime2%7D-%5Cfrac%7B30%7D%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%20y%5E%7B%5Cprime%7D%3D0%2C%5C%5C%0A%5Ctext%7B%E5%8D%B3%7D%5C%3B%26%20x%5E%7B%5Cprime2%7D%3D%5Cfrac%7B6%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B5%7D%20y%5E%7B%5Cprime%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

它的图象是抛物线，顶点在原点，对称于 y' 轴。

【注1】抛物线的顶点恰在原点，因此只通过转轴的一次手续就化到抛物线的标准方程（见图5·12）。

【注2】在图形为抛物线型时，一般从 tgθ 推起为便。

练习

1、应用判别式决定圆锥曲线 13x²＋10xy＋13y²＝72 的类型，并利用转轴消除 xy 项（不必描图）。

2、xy＝4，应用判别式先决定它的图象类型，再利用转轴消除 xy 项化到它的标准型方程。

3、利用转轴把 x²－4xy＋4y²＋12x＋6y＝0 化简，并描出它的图象。（第1题的新方程是 9x'²＋4y'²＝36，图形与5-4节例2相同，只是长轴合于 y' 轴上。第2题的新方程是 x'²－y'²＝8 。第3题的新方程是 y'²＝－(6/5)√5 x'，它的图形与本节例2相同，只是以 x' 轴为对称轴，向 x' 轴的负向伸展）