牛顿是如何证明开普勒三定律的？
开普勒三定律，如果用现代已经整理好的办法，证明起来其实相当简单，也非常地简单易懂。只需有一定的微分方程基础就都可以看懂。
但是微积分是牛顿和莱布尼茨发明的，也就是说那时候的人们没有那么成熟的微积分体系，那牛顿证明开普勒三定律的方式是否也是像现代一样使用微积分呢？
在学习的过程中，会发现牛顿在几何方面的造诣惊为天人（他哪方面不是呢）。所有的证明都通过几何完成了证明，所以很多地方甚至不需要你有太多的物理学基础。（不过因为有些证明太过于惊为天人，我在说明的时候还是会使用一些原过程中没提到的物理）
这里就演示一下牛顿对开普勒三定律的证明（需要简单的微积分基础，真的很少）
开普勒第一定律：行星绕日轨道是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的其中一个焦点上。
开普勒第二定律：行星和太阳的连线所扫过的面积和时间成正比。
开普勒第三定律：行星轨道的长半轴的三次方和行星绕日周期的平方成正比。
（具体表述可能不一样，但是意思是一样的）
事先说明，因为在牛顿的时期，引力的平方反比定律还没有被提出（毕竟就是这个证明提出了平方反比）。所以在《自然哲学的数学原理》中并没有从平方反比推导椭圆轨道，而是通过椭圆轨道推导平方反比。在这里我解释的也是这个过程。
开普勒第二定律
首先，我们来看开普勒第二定律的证明。有些人可能要问：“为什么不按顺序证明开普勒三定律？”原因也很简单，开普勒第二定律最简单。并且我也认为开普勒第二定律是大家最容易看懂，并且也最容易感受到牛顿证明方法的精妙之处的。
我们先把开普勒第一定律的证明欠着，现在我们看到的是一个椭圆，S是焦点。A是行星运动的起始点。在经过一个很短的时间（微积分表达为dt）后到达了B，再经过同样长的时间后达到了D。因为两段时间都非常地短，所以这一段弧线的长度可以使用对应的弦近似（非常基础的微积分就不解释了）。
。
同时因为我们考虑的是时间微元，所以BC段上受力仍然只是BS方向，因此BD和BC之间必然只差了一个在BS方向上的长度，如图所示。
。
接下来我们只需要初中知识就可以得到：
所以：
得证。
开普勒第一定律
现在我们来把缺失的开普勒第一定律的证明补上。
结论1
首先考虑一段任意的弧线DEG（虽然我用的是椭圆，但这里是任意的），直线DH是D点的切线，同时GH⊥DH，EF⊥DF。∠ADH也是直角。
现在我们要认为这一段弧线无穷小，以至于可以被近似成一段圆弧，这时候A就被近似成了圆心。∠DEA和∠DGA也近似成了直角。因此我们有：
因此：
从这两个式子中可以看出，垂线的长度和弦长的平方成正比。
结论2
S是椭圆焦点。QR平行于SP，直线PZ是P点切线。QT垂直于SP。
根据开普勒第二定律，我们知道SP连线扫过的面积和时间成正比。同时因为考虑时间微元，所以椭圆的一小部分可以被看成是正圆，同时弧长近似为弦长。结果就是半径固定，面积只和弦长成正比，因此面积和弦长成正比。
考虑结论1，我们知道Q到直线PZ的垂线正比于弦长的平方。虽然QR并不是垂线，但是在其他条件不变的情况下，显然QR正比于垂线，所以可以知道QR正比于弦长的平方。因此，QR正比于面积的平方。因此与SP和QT乘积的平方成正比。
用数学语言描述就是：
考虑牛顿第二定律，我们知道在相同的时间情况下，物体的偏离距离和力的大小成正比，因此QR和向心力成正比。
综合以上，向心力和QR成正比，和SP与QT乘积的平方成反比：
这是结论2。
结论3
Qv和DC与P点切线平行。PG是过P点和椭圆中心C点的直径。
这一部分牛顿在书中没有讲，大概是因为这个几何结论过于基础。
你们可以自己想证明方法，我在这里给出我的办法。
考虑半径为r的一个圆。
所以原式在圆里是成立的。接下来我们将圆给横向拉伸处理一下就会变成原图。有些人可能会问，拉伸的时候比例会变，这个等式不一定还成立。
但是我们注意到，DC和Qv平行，所以二者拉伸变化比例肯定一样。Gv、Pv和PC共线，拉伸比例必然一样。所以拉伸后等式保持不变。
因此：
这是结论3。
结论4
这个证明牛爵爷也没有在书中给出，这里我就简单给出我的做法。
可以思考一个对应的圆。
显然等式在这里成立。在横向拉伸以后，面积不会被影响，所以原式子保持不变，仍然成立。
正式证明
我们先把先前出现过的图做一下小小的补全。
右上角的图像放大后是：
S和H是椭圆的两个焦点，P和Q是椭圆上的任意两点，直线RPZ是P点的切线。HI、Qv、DCK都平行于直线RPZ,QR平行于SP。QT垂直于SP，PF垂直于DK。CA是椭圆半长轴，BC是椭圆半短轴。C是椭圆中心
，考虑三角形SHI，
。所以
，由此可得三角形PIH是一个等腰三角形。
，即为经过椭圆焦点同时垂直于长轴的线段长度，对于一个椭圆是常数。
。又因为
，有
。做一定变形可以得到
，变形为
。
，因此有以下式子：
，所以有
\
综合以上所有式子，我们就有：
化简可得：
将L代入可得：
处理一下式子就可以得到
，也就是平方反比。
得证。
开普勒第三定律
经历了复杂的开普勒第一定律，我们现在可以开始考虑一些简单的问题了，比如开普勒第三定律的证明。
，因此
。
，所以
（从L的公式推导而来）
得证。
至此，就是牛顿在《自然哲学的数学原理》中对开普勒三定律的证明。可以看得出来牛顿在几何这方面的惊人造诣，至少我认为这些方法我是永远想不到的。用几何找到了代表物理的量，实在是相当有趣的做法。
不过也需要说明一点，其实不建议大家自己去阅读这本书，除非真的对这方面有着相当浓厚的兴趣。牛爵爷的思维比较跳脱，证明中有不少步骤都是我自己添加进去，牛顿自己写的时候将大部分过程都省去了，因此花费了大量时间来理解跳过的步骤。同时牛顿时期的不少概念现在已经基本不了解了，比如弧线的矢。现在如果去搜索弧矢，你搜索到的会是弓箭的某个东西。或许也能搜到一些人的讨论，但是个人认为他们讨论的结果也不是正确答案。所以在证明过程中并没有去深究“矢”在牛顿时期到底是什么。
自己完整看了一遍也能理解为什么大学课程中不教牛顿的解法。大概是因为牛爵爷的解法太过于注意力集中，也不具有普适性。作为课外拓展很有意思但是作为课程实在是对大部分人的要求过高了些，实际意义也并不明显。
以上。