【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。  

第五章坐标变换和二元二次方程的讨论

§5-2利用移轴化简方程的方法

【01】今叙述两种方法于下：

1、代公式法

【02】以移轴公式代入已知的方程 F(x，y)＝0，得新方程 f(x'，y')＝0，然后适当的选择 h，k 的值，可以使方程化简。从下面的例题我们来考察如何选取 h 和 k 的值的问题。

例1.化简方程 4x²＋9y²＋16x－18y－11＝0 并作出它的曲线。

【解】

代入上式得 4(x'＋h)²＋9(y'＋k)²＋16(x'＋h)－18(y'＋k)－11＝0，

即 4x'²＋9y'²＋8(h＋2)x'＋18(k－1)y'＋(4h²＋9k²＋16h－18k－11)＝0  。    (1)

今如欲化去 x'，y' 的一次项，则新方程就成为我们所熟悉的标准形式了。

令 x'，y' 的系数为 0，

∴ h＝－2，k＝1  。

代入(1)式得 4x'²＋9y'²＝36  。    (2)

就是说通过坐标轴的平行移动以 (－2，1) 为新原点，即得新方程 (2)，也就是 x'²/9＋y'²/4＝1  。

从第四章知道这是椭圆的标准方程，中心在新原点，即 (－2，1)  。方程的曲线对称于新原点及两新坐标轴，对称轴在新坐标轴上，即在 y＝1，x＝－2 上，长轴的长为 6，短轴的长为 4（图5·3）。

例2.化简 2y²＋5x＋12y＋13＝0 并作它的曲线。

【解】

代入原式得 2(y'＋k)²＋5(x'＋h)＋12(y'＋k)＋13＝0，

即 2y'²＋5x'＋4(k＋3)y'＋(2k²＋5h＋12k＋13)＝0  。

今消去 y' 项及常数项，新方程中只有 y'² 项，它的轨迹是对称于 x' 轴的，因此

∴ k＝－3，h＝1  。

平行移动两坐标轴以 (1，－3) 为新原点后，它的方程是 2y'²＋5x'＝0，

即 y'²＝－(5/2)x'  。

从第四章知道这是抛物线的标准方程，p＝5/4，顶点在新原点，即 (1，－3)，对称轴是 y＋3＝0（图5·4）。

【03】从上面两个例题中可以看到，在二次方程 Ax²＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0（没有 xy 项）中，通过移轴可以使方程化简，就是说假使 A，C 都不为 0，则化去一次项就得一个新方程（有心圆锥曲线的标准型方程），它的曲线对称于新坐标轴，也对称于新原点；假使 A 或 C 有一个为 0（如设 A 为 0），则消去 y' 的一次项的系数及常数项，这样就得到抛物线的标准型方程，它的曲线对称于 x' 轴，顶点在新原点（如 C＝0，则消去 x' 的一次项及常数项）。

【注】用新方程在新坐标系上作图，两组坐标轴应当同时画在图纸上。

例3.作方程 xy＋3x－4y－18＝0 的曲线。

【解】

因为所给的方程的形式是不熟悉的，它的图形一时不易掌握，现在我们先设法通过移轴把它化简，

代入得 (x'＋h)(y'＋k)＋3(x'＋h)－4(y'＋k)－18＝0，

即 x'y'＋(k＋3)x'＋(h－4)y'＋(hk＋3h－4k－18)＝0  。    (1)

通过移轴以 (4，－3) 作为新原点，则得对新坐标系的新方程（以 h，k 的值代入(1)），就是 x'y'＝6  。    (2)

令 y'＝6/x'，

方程的曲线是等边双曲线，新原点 O' 是对称中心。

【注1】只有“xy”的二次项的二次方程 Bxy＋Dx＋Ey＋F＝0，就可以用例3的方法化简，就是化去它的一次项，而得新方程 x'y'＝k 的形式。这方程的作图是比较简便的。

【注2】观察上面各个例题，我们看到一个方程通过移轴化简，它的最高次项（现在是二次项）的系数是不变的。对二次方程来说，受到影响的只是一次项的系数及常数项。

【注3】为了检查所得的新方程及它们的图象有无错误，可以从原方程求对原坐标轴的截距，并与所作的曲线对照，看它们是否符合。如在例3中，从原方程求得横截距和纵截距分别是 6 和－4.5，今与所作图形对照是符合的。

练习

利用移轴公式，仿照上面例题化简下列各方程，并描它们的曲线：

1、x²＋y²－2x＋6y－6＝0；

2、x²－y²－2x＋6y－6＝0；

3、9x²＋4y²－18x＋16y－11＝0；

4、2x²＋12x＋5y＋13＝0；

5、xy＋x－2y＋4＝0  。

2、配方法

【04】对于缺少 xy 项的二元二次方程，我们可以用配平方的方法来确定 h，k 的值，从而化简方程。这种方法比上面的代公式方法还来得简单。今举例如下：

例4.化简 4x²＋9y²＋16x－18y－11＝0  。

【解】

按照 x²，y² 项分别配成平方

(4x²＋16x)＋(9y²－18y)＝11，

4(x²＋4x＋4)＋9(y²－2y＋1)＝11＋16＋9，

即 4(x＋2)²＋9(y－1)²＝36  。    (1)

    (2)

以(2)代入(1)即得 4x²＋9y'²＝36  。

今得到与上面例1同一的结果（见例1及图5·3）。

例5.化简 2y²＋5x＋12y＋13＝0  。

【解】

按 y² 配方，2y²＋12y＝－5x－13，

即 2(y²＋6y＋9)＝－5x＋5，

即 2(y＋3)²＝－5(x－1)，    (1)

代入(1)式得 2y'²＝－5x'  。

今得到与上面例2同一的结果（见例2及图5·4）。

在 A，C 都不等于零（或 A，C 不同时为 0），并且没有 xy 项的二次方程 Ax²＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0 中，我们都可以用配方法求出 h 和 k 的值，再行移轴化简。

练习

利用配方法化简下列各方程：

1、x²＋y²－2x＋6y－6＝0；

2、x²－y²－2x＋6y－6＝0；

3、9x²＋4y²－18x＋16y－11＝0；

4、2x²＋12x²＋5y＋13＝0；

5、2y²－5x－12y＋13＝0  。