【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章极限 

§1-3函数的极限

【01】前面我们研究了数列的极限的概念和极限的运算法则。从本节起，我们将讨论函数的极限的概念和运算法则。

1、当 x→∞ 时函数的极限

【02】我们考察函数 y＝1/x 当 x 无限增大时的变化趋势。为此，我们列出下表，并作出函数 y＝1/x 的图象（图1·4）。

【03】从函数 y＝1/x 的图象可以看出，当自变量 x 取正值并无限增大时，函数 y＝1/x 上的值无限趋近于零。这里的“无限趋近于零”，就是表示函数值 y 与 0 之差的绝对值 | y－0 | 可以变得任意小。

【04】例如，当 x 大于 1000 时，| y－0 |＜0.001  。

【05】当 x 大于 100000 时，| y－0 |＜0.00001  。

【06】一般地，对于预先指定的任意小的正数 ε，当 x＞1/ε 时，| y－0 |＝1/x＜ε  。

【07】总之，当 x 取正值并无限增大时，函数 y＝1/x 的值无限趋近于 0  。于是我们说，当 x 趋向于正无穷大时，函数 y＝1/x 的极限是 0，记作  。

【08】同样地，当 x 取负值并且它的绝对值无限增大时，函数 y＝1/x 的值也无限趋近于 0  。于是我们说，当 x 趋向于负无穷大时，函数 y＝1/x 的极限是 0，记作  。

【09】一般地，当自变量 x 的绝对值无限增大时，如果函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向于无穷大时，函数 f(x) 的极限是 A，记作  ，

【10】也可记作：当 x→∞ 时，f(x)→A  。

2、当 x→x₀ 时函数的极限

【11】我们来研究函数 y＝x² 当 x 无限趋近于 2 时的变化趋势。

【12】先列出下表，并作出函数 y＝x² 的图象（图1·5）。

【13】我们看到，当自变量 x 越接近 2 时，函数 y＝x² 的值越接近 4；当 x 无限趋近于 2（但不等于2）时，y 的值无限趋近于 4  。于是我们说，当 x 无限趋近于 2 时，函数 y＝x² 的极限是 4，记作   。

【14】我们再来研究函数 y＝(x²－1)／(x－1) 当 x 无限趋近于 1（但不等 1）时的变化趋势。

【15】如图1·6，函数的图象是直线 y＝x＋1 上除去点 (1，2) 以外的部分。从图象上看到，当 x 接近于 1 时，函数 y＝(x²－1)／(x－1) 的值趋近于 2  。

【16】这时，我们说，当 x 无限趋近于 1（但不等于 1）时，函数 y＝(x²－1)／(x－1) 的极限是 2，记作   。

【17】一般地，当自变量 x 无限趋近于常数 x₀（但 x 不等于 x₀）时，如果函数 y＝f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋近于 x₀ 时，函数 f(x) 的极限是 A，记作，

【18】或者 当 x→x₀ 时，f(x)→A  。

【19】从这个定义可以得出：

当 x 趋于任何数 x₀ 时，常数函数的极限就是这个常数，即  。

当 x→x₀ 时，f(x)＝x 的极限是 x₀，即  。

3、函数的左极限和右极限

【20】首先，我们介绍在微积分中常常用到的函数 y＝[x]，符号 [x] 表示不超过数 x 的整数部分，例如 [0]＝0，[10/3]＝[3.33…]＝3，[－2.5]＝－3  。

【21】函数 y＝[x] 的图象如图1·7  。

【22】现在，我们再来研究函数 y＝[x] 在点 x＝1 处的极限。

【23】如图1·7，当 x 从点 x＝1 的左侧趋近于 1 时，函数 y 趋近于 0；当 x 从点 x＝1 的右侧趋近于 1 时，函数 y 趋近于 1  。因此，当 x 从点 x＝1 的左侧和右侧分别趋近于 1 时，函数 y 所趋近的值不同。根据函数在一点处的极限的定义，函数 y 的极限不存在。

【24】从这个例子我们看到，虽然函数 y＝[x] 在点 x＝1 处没有极限，但是当 x 从点 x＝1 的一侧趋近于 1 时，函数 y 还是趋近于确定的常数。由此我们引出单侧极限的定义。

【25】如果当 x 从点 x＝x₀ 左侧（即 x＜x₀）无限趋近于 x₀ 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x₀ 处的左极限，记作  。

【26】同样，如果当 x 从点 x＝x₀ 右侧（即 x＞x₀）无限趋近于 x₀ 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x₀ 处的右极限，记作  。

【27】根据极限、左极限和右极限的定义，可以得出表示它们之间的关系的一条定理（证明从略）：

定理. 的充要条件是   。

练习

1、给定函数 y＝1／(x²＋1)  。填写下表并画出函数的图象，观察函数 y 当 x→∞ 时的变化趋势：

2、根据函数极限的定义和函数的图象，说出下列极限：

3、对于函数 y＝2x＋1 填写下表，并作出函数的图象，观察当 x→1 时函数 y＝2x＋1 的变化趋势：

(1) 当 | x－1 |＜0.01 时，| y－3 | 小于什么数？当 | x－1 |＜0.00001 时，| y－3 | 小于什么数？

(2) 说出当 x→1 时函数的极限。

4、根据函数极限的定义和函数的图象，说出下列函数的极限（其中 C 是常数）：

5、说出下列各图中表示的函数在点 x＝a 的左极限、右极限和极限（如果存在的话）：