宇宙的声音，《张朝阳的物理课》探索广义相对论下的线性引力波

如何表明广义相对论存在引力波？如何推导引力微扰的波动方程？

5月26日和6月2日的12时，《张朝阳的物理课》第二百一十三和二百一十四期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，在介绍了电磁场的波动方程之后，运用弱场下的平直时空微扰法，推导出了度规的微扰所需满足的波动方程。

张朝阳介绍引力波

引力波及其历史回顾

引力波的存在是广义相对论的重要预言，但是想要证明其存在并不容易。历史上早在1916年爱因斯坦就曾在与史瓦西的信件中提出应该存在“引力的波动”，类似于电磁波在电磁场中的传播。爱因斯坦提出，引力波以光速传播，并且在源处释放能量。然而，当时的数学处理并不完善，使得这些波的物理实在性受到质疑。特别是广义相对论具有坐标变换不变的性质，一些物理学家认为引力波可能只是坐标系的虚假现象而非真实物理实体。爱丁顿在1922年对引力波的存在性表示怀疑，认为它们可能没有实际的能量和动量。尽管存在这些质疑，物理学家门仍继续研究广义相对论和引力波的数学基础。到1950年代，在赫尔曼·邦迪（Hermann Bondi）、费利克斯·皮拉尼（Felix Pirani）和伊凡·罗宾逊（Ivor Robinson）的努力下，确定了引力波携带能量。而邦迪在1957年通过Bondi news这一物理量，确切地描述了引力波如何从一个源中辐射出来，证明了引力波能够在没有坐标系依赖的情况下，携带出能量、动量和角动量。雷纳·萨克斯（Rainer Sachs）与约瑟夫·波多尔斯基（Joseph Goldberg）在1962年的论文中，通过纽曼-彭罗斯形式形式（Newman-Penrose formalism）提出了Sachs-Goldberg公式，进一步规范了描述引力波的方法。至此，人们已经确信了在广义相对论的框架中的确存在引力波，引力波是时空弯曲效应的传播，传播速度等于光速。

在理论上确认引力波的存在性后，乔瑟夫·韦伯（Joseph Weber）设计并建造了韦伯棒用于探测引力波。虽然他在1969年和1970年报告了引力波探测的结果，但这些结果后来被认为是噪声干扰，未能得到独立验证。1974年，罗素·霍尔斯（Russell Hulse）和约瑟夫·泰勒（Joseph Taylor）发现了第一颗脉冲双星系统PSR B1913+16。通过对双星系统的长期观测，Hulse和Taylor发现这个系统的轨道半长轴衰减与广义相对论预言的引力波耗散一致。这一发现间接证明引力波的存在。两人也因此在1993年获得诺贝尔物理学奖。到了1990年代，激光干涉引力波天文台（Laser Interferometer Gravitation Wave Observatory，LIGO）项目启动，并于2002年开始运行。两个分别位于美国的Hanford和Livingston的LIGO探测器使用迈克尔孙干涉仪的原理运行，每一个臂长约为4千米，光在其中通过法布里波罗腔干涉仪来回反射，不仅极大地提高了激光的功率，也增大了有效的干涉距离，使得有效臂长达到1600千米。LIGO完成了升级成为Advanced LIGO后，大大提高了探测引力波的灵敏度，于2015年9月14日成功探测到首个引力波事件GW150914，这是两个质量约为36倍和29倍太阳质量的黑洞合并所产生的引力波。这一事件验证了爱因斯坦的广义相对论，开启了引力波天文学的新时代。

在广义相对论中，不涉及到具体观测某一个物理现象时，并不一定需要找一些简单的情形来说明物理规律。一方面是因为广义相对论中会遇到各种阶数的张量，通常具体去计算分量会很复杂，分量的计算往往不会简单的物理情形而简单。另一方面，假如能够熟练使用爱因斯坦求和规则，会使形式计算变得更加简单。

爱因斯坦方程在弱场情形下可以出现波动方程，张朝阳为我们展示了这一理论推导的过程。

时空的微扰度规

对时空做微扰展开，背景时空为平直的闵可夫斯基时空，则度规写成

一般情况下，张量指标的升降都用度规g进行的，但对于线性微扰理论，我们可以将微扰h理解为平直时空上的场，则可以用闵氏度规η对微扰h的指标进行升降

为了后面描述方便，引入上指标的偏导数，其定义如下

这个上指标的导数写法可简化推导过程中频繁出现的度规η。我们接着把度规g的上指标形式与微扰h的上指标形式的联系推导出来：假设展开形式为

由于度规的迹为

代入g下指标表达式(1)和上指标表达式(2)，得到

第一项为

最后一项是二阶无穷小，可以忽略。最后的结果有

即有

因此当度规分量写成上指标的形式时有

另外，在平直时空中，使用c=1和爱因斯坦求和约定之后，无源的波动方程的形式为

将之展开，可得到我们熟悉的形式

张朝阳介绍波动方程的四维写法

对时间是二阶导数，对空间也是二阶导数是波动方程的典型特征。如果对时间是一阶导数，对空间是二阶导数，则是热传导方程。热传导方程随时间是扩散的，而波动方程不会。我们知道电磁场中的矢势和标势在满足洛伦茨规范条件下，麦克斯韦方程可写成这种波动方程的形式。在真空中，电场和磁场同样要满足这个波动方程，预言了电磁波。因此若将引力微扰写成上述形式的波动方程，则表示存在引力波，并在时空中传播。

平直时空微扰下的无源爱因斯坦场方程与波动方程

现在，我们将微扰的度规代入到真空爱因斯坦场方程中，得到微扰度规的运动方程。

首先，将微扰度规代入到克氏符中，并保留到h的一阶

接着，将克氏符代入到黎曼曲率张量中，并保留到h的一阶

张朝阳推导黎曼曲率张量的微扰

由于克氏符本身就是h的一阶小量，两个克氏符相乘必定是h的二阶小量，所以不需要考虑黎曼曲率张量中的两个克氏符相乘项

进一步缩并指标t和r得到里奇张量的表达式

其中的克氏符表达式为

这里我们要求了直角坐标系，才将度规分量η放入到偏导数中，例如

最后会多一项对度规的偏导数，若选取直角坐标系，则最后一项为0。将上面的克氏符(4)和(5)代回至里奇张量(3)中得到

广义相对论中的描述张量不会依赖于坐标系的选取，但我们可以借助于特殊坐标系的选取，进一步化简所要求解的方程。在引力波问题的理论计算中，人们一般取洛伦茨规范条件（Lorenz gauge condition）（具体我们在附录中给出来源）

所以里奇张量的表达式(6)中的三项变为

这三项相加正好为0，只剩下

在无源的时空中

用度规g缩并爱因斯坦场方程得到

也就是里奇标量R=0。所以真空爱因斯坦场方程满足

通过等式(7)可以得到

也就是

这就是闵氏时空下的波动方程，我们在上面用到了洛伦茨规范条件。波动方程的结果说明引力扰动的确可以产生波动并向前传播。

张朝阳推导出波动方程

物理课的内容补充

关于坐标规范的说明

在引力波问题的理论计算中，人们一般取谐和规范条件（harmonic gauge condition）。这个条件写为

这里的导数算符和达朗贝尔算符与度规g适配，而非与平直时空的度规η适配。将上述条件写成平直时空的微扰形式，保留到 h 的一阶，得到

对最后一等号的左右两边用度规η去缩并，得到

即

这就是洛伦茨规范条件，一般使用时可以定义新变量

使得

这就与电磁波中的洛伦茨规范条件写法一致了

关于自由度的说明

在具体求解波动方程(8)时，需注意到冗余的规范条件还存在4个，这可以认为来自于对爱因斯坦张量的比安基恒等式

在此4个方程中会告诉我们G的0ν分量是不会演化的。这称之为哈密顿约束和动量约束。

而在线性引力波中，这会表现为洛伦茨规范条件还存在多余的4个自由度。在做无穷小坐标变换时

度规变换为

将微扰度规的变换写为

洛伦茨规范条件作用上去后得到

也就是说，只要有

那么洛伦茨规范条件同样会满足，这就会额外多4个约束条件。最后，引力波（即度规分量）只会留下 10 - 4 - 4 = 2 个自由度。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。