【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅴ.抛物线  

§4-17用几何方法画出抛物线上的点

1、

【】根据定义，用圆规和直尺可以作出抛物线上的点，方法如下：

【】设 l 是准线，F 是焦点（图4·54），在 x 轴上取一系列的点 A₁，A₂，A₃，…，并过各点引 y 轴的平行线，分别以 KA₁，KA₂，KA₃，…为半径，F 为圆心作弧，顺序交这一系列的平行线于 P₁ 和 P₁'，P₂ 和 P₂'，P₃ 和 P₃'，…。用光滑的曲线顺势连结各点就得到所求的抛物线。

【】现在我们来证明 P₁，P₂，P₃，…各点确是抛物线上的点。

【】从 P₁ 作 P₁Q⊥l，则 | QP |＝| KA₁ |＝| FP₁ |，就是说 P₁ 点到焦点的距离和到准线的距离相等，这就证明了 P₁ 点确是抛物线上的点。

【】同理可证其他各点也是抛物线上的点。

2、拱形的画法

【】在前面曾经介绍过桥拱的形状可以是抛物线形。顶点在上、张口向下的抛物线通常叫做拱形。拱形在建筑工程上应用很广泛，我国古代工人在造桥时早就利用拱形了。下面就来介绍拱形的画法：

【】设 AB＝2a 表示拱形的宽（图4·55），BC＝h 表示拱形的高，以 AB，BC 为边作一个矩形 ABCD  。

【】以 AB 的垂直平分线 OK 作为 y 轴，DC 所在的直线为 x 轴，把 AK 分成 n 等分（n 取什么整数，根据实际情况决定，一般地说，等分线段愈小，就是 n 愈大，作出来的拱形愈正确），同样把 AD 也分成 n 等分（AK 上的一等分线段 AA₁ 与 AD 上的一等分线段 AB₁ 不一定相等，因为 AK 与 AD 不一定相等）。我们这里是把 AK 和 AD 都分成五等分。分点分别是 A₁，A₂，…和 B₁，B₂，…。过 AK 上各分点作 y 轴的平行线 A₁A₁'，A₂A₂'，…。连结 B₁O，B₂O，B₃O，…，并设它们分别交 A₁A₁'，A₂A₂'，A₃A₃'，…于 P₁，P₂，P₃，…各点。用平滑的曲线顺势连结 P₁，P₂，P₃，…各点，就得到拱形左侧的一段。用对称的方法，可以得到拱形右侧的一段。

【】现在我们来证明 P₁，P₂，P₃，…各点确是拱形上的点。根据上面的作法，按图4·56可知 A 点的坐标是 (－a，－h)  。

【】从 Rt△OA₁'P₁∽Rt△ODB₁ 中得   。    (1)

【】设 P₁ 点的坐标是(x₁，y₁)，则 | P₁A₁'|＝| y₁ |，| OA₁'|＝| x₁ |，| OD |＝a  。

【】代入(1)式，得  。    (2)

【】因为 y₁＜0，x₁＜0，所以 | y₁ |＝－y₁，| x₁ |＝－x₁，

【】代入(2)式得   。    (3)

【】从作图中知道 ，

【】其中 | DA |＝|－h |＝h，| KA₁ |＝| x₁ |＝－x₁，| KA |＝|－a |＝a，

【】所以 | B₁D |＝－x₁·h／a  。

【】代入(3)式，得 ，

【】就是 ，    (4)

【】所以 P₁(x₁，y₁) 是抛物线  上的一点，同理可证 P₂，P₃，…各点也都在这曲线上。这就说明了我们这样作出的曲线是一条抛物线（拱形）。

练习

1、根据抛物线的定义，利用圆规和直尺画出下列各抛物线上的若干点，然后用平滑的曲线连结这些点画出抛物线的图形。

(1) y²＝16x；

(2) x²＝12y  。

2、有抛物线形的桥拱，已知拱的跨度（就是宽）等于 24 米，高 6 米，用本节方法画出这个桥拱的图形（以厘米表示米，画在图画纸上），并求出桥拱的抛物线方程。