【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线

本章提要

1、圆锥曲线的标谁方程和性质

表中所举的是圆锥曲线主要的标准方程和性质，对于椭圆 x²/b²＋y²/a²＝1，双曲线－x²/b²＋y²/a²＝1 和抛物线 y²＝－2px，x²＝±2py 等的图形和性质，由读者仿照上表自己去完成它。

2、圆锥曲线的切线和法线

(1) 切线和法线的定义，

(2) 经过一点 P(x₁，y₁)，作圆锥曲线的切线。

    (ⅰ) 如 P 点在曲线上，则以 x₁x 和 y₁y 代方程中的 x² 和 y²；以 (x₁＋x)/2 和 (y₁＋y)/2 代 x 和 y；以 (y₁x＋x₁y)/2 代 xy  。

    (ⅱ) 如 P 不在曲线上，则求切点的坐标，把问题转变为(ⅰ)而解之。

(3) 已知切线的斜率是 k，可以求出切线方程。

(4) 圆锥曲线的切线和法线的性质及其应用。

复习题四

1、

，分别说明焦距 c 和 a、b 之间的关系，离心率、焦点和顶点的坐标，长轴、短轴的位置和长度。

，分别说明半焦距 c 和 a，b 之间的关系，离心率、焦点和顶点的坐标，长轴、短轴的位置和长度。

2、用解析法证明：

(1) 半圆上的圆周角是直角；

(2) 从圆周上一点向直径作垂线，垂足把直径分成两段，则这条线长是直径上两段的比例中项。

3、在椭圆上求一点，使经过这点的两条焦点半径互相垂直。

4、P₁(x₁，y₁) 是圆 x²＋y²＝r² 上的任意一点，又设 P 点和 P₁ 点的横标相同，知果纵坐标的此是 1:2（如图中的 MP/MP₁＝1/2），求 P 点的轨迹。[提示：MP/MP₁＝1/2，即 y/y₁＝1/2，用 y 表示 y₁，又 x＝x'，代人 x₁²＋y₁²＝r² 里 ]

5、求经过 P(4，－1) 点，并且与圆 x²＋y²＋2x－6y＋5＝0 切于 M(1，2) 点的圆的方程。[提示：已知圆的圆心为 (－1，3) 而所求圆的圆心必在 (－1，3) 和 (1，2) 两点的连线上，同时又在 (4，－1) 和 (1，2) 两点的连线的垂直平分线上 ]

6、已知圆的半径是 4，并且经过两圆 x²＋y²＝4 和 x²＋y²＋2x－3＝0 的交点。求这个圆的方程。

7、已知圆 x²＋y²－4x＋6y－4＝0 的切线与直线 4x＋y＝0 垂直，求这全圆的切线方程。

8*、证明，P(x₁，y₁) 点到两圆 x²＋y²＋D₁x＋E₁y＋F₁＝0，x²＋y²＋D₂x＋E₂y＋F₂＝0 有相等长的切线的轨迹，就是这两圆的根轴。[提示：参考本章习题4-3~4-4第八题，从 t₁＝t₂ 即 t₁²＝t₂² 再化简]

9、求一点的轨迹，已知它到直线 x＝18 的距离等于它到 F(2，0) 点的距离的 3 倍。

10、求切于纵轴和圆 x²＋y²＝1 的圆的圆心的轨迹方程。

11、已知一个等边三角形内接于抛物线 y²＝2x，并且一个顶点在原点，求其他两个顶点的坐标。

12、设汉曲线 x²/15－y²/6＝1 的切线平行于直线 x＋y－7＝0，求切线。

13、双曲线与直线 x－y－2＝0 切于 P(4，2) 点，求这个双曲线的方程。

14、设双曲线的新近线是 y＝±(1/2)x，它的一条切线是 5x－6y－8＝0，求这个双曲线的方程。

15、求直线 Ax＋By＋C＝0 与下列各圆锥曲线相切的条件：

(1) 椭圆 x²/a²＋y²/b²＝1；

(2) 双曲线 x²/a²－y²/b²＝1；

(3) 抛物线 y²＝2px  。

16、设 △ABC 的周长是 50，底边 AB＝24  。今 AB 不动，并且在不改变三角形周长的条件下，移动顶点 C，求 C 点的轨迹。[提示：取 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中点为原点 ]

17、求抛物线 y²＝64x 与直线 4x＋3y＋46＝0 的最短距离。[提示：求与直线 4x＋3y＋46＝0 平行，并且与抛物线相切的切线，把问题转变为求两平行线间的距离 ]

18*、证明内接于抛物线 y²＝2px 的三角形的面积是

（其中 y₁，y₂，y₃ 是三角形的三个顶点的纵标）。

19*、就 k 的值，确定方程 x²/k＋y²/16＝1 的轨迹，并且当 k＝－16，4，16，20 时，作出各轨迹的图形。

20、证明，等边双曲线任意一点到两个焦点间的距离的积，等于这点到中心距离的平方。[提示：设等边双曲线是 x²－y²＝a²，则二焦点是 (±√2 a，0) ]

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