【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第七章极坐标

§7-5直线和圆锥曲线的极坐标方程

【01】现在分别介绍关于直线、圆及圆锥曲线等的极坐标方程如下。

1、直线

【02】设 l 是已知直线，从极点 O 到这直线的垂线 OD 为定长 p，∠xOD 为定角 ω，P(ρ，θ) 为直线上任意一点，连 OP，则 OP＝ρ，∠xOP＝θ，在直角 △ODP 中，∠POD＝ω－θ，OD／OP＝cos∠POD，

【03】就是 p／ρ＝cos(ω－θ)，

【04】∴ ρ cos(θ－ω)＝p  。    (1)

【05】上式为直线在极坐标系的一般方程。

【注】

1、如 ρ＝0，方程变为 ρ cos(θ－ω)＝0，

∵ ρ＝0 无意义，只有 cos(θ－ω)＝0，

∴ θ－ω＝π/2，（或 θ－ω＝－π/2，与上式表示同一条直线）

就是 θ＝ω＋π/2（为定值），

这说明直线经过极点而与极轴成 ω＋π/2 角。

2、如 p≠0，ω＝0，方程是 ρ cosθ＝p，说明这直线垂直于极轴，与极点的距离是 p  。

3、如 p≠0，ω＝π/2，即直线平行于极轴，这时方程为 ρ cos(θ－π/2)＝p，

就是 ρ sinθ＝p  [∵  cos (θ－π/2)＝cos(π/2－θ)＝sinθ ]  。

说明这直线平行于极轴，而与极点的距离是 p  。

上面的方程从图7·19也可直接求得，因在直角 △ODP 中 OD＝OP cos(π/2－θ)，

就是 ρ sinθ＝p  。

2、圆

【06】设圆心在 C(ρ₁，θ₁)，半径为 r，P(ρ，θ) 为圆周上的任意一点，则如图7·20(a)在 △OCP 中，因为 CP＝r，OC＝ρ₁，OP＝ρ，

【07】根据余弦定理得 CP²＝OP²＋OC²－2(OC)(OP)cos(θ－θ₁)，

【08】r²＝ρ²＋ρ₁²－2ρ₁ρ cos(θ－θ₁)，

【09】就是 ρ²－2ρ₁ρ cos(θ－θ₁)＋(ρ₁²－r²)＝0，    (2)

【10】这是圆在极坐标系的一般方程。

【注】

1、如圆经过极点，并且中心 C 在极轴上如 (r，0)，

即（图7·20(b)）ρ₁＝r，θ₁＝0，

则(2)式成为 ρ²－2rρ cosθ＝0，

就是 ρ＝2r cosθ  。（参阅上节例1）

2、如中心 C 在极点，此时 ρ₁＝0，

即（图7·20(c)）ρ²＝r²，

∴ ρ＝r  。（ρ＝－r 或 ρ＝r 表示同一个圆，所以只取正号）。

3、圆锥曲线

【11】我们从圆锥曲线的统一定义（参考第五章5·7节），就是说一动点 P 到一定点 O 的距离与到一条定直线 DD' 的距离之比为一常数 e，则 P 的轨迹为圆锥曲线。今以定点为极点，使极轴垂直于定直线，如图设 HO 的长度为 p，又设 P(ρ，θ) 为轨迹上的任意一点，即 OP＝ρ，∠xOP＝θ  。

【12】则 | DP |＝| HO |＋| OQ |＝p＋ρ cosθ  。

【13】今 | OP |／| DP |＝e，

【14】即 ρ／(ρ cosθ＋p)＝e，

【15】整理后，得 ρ＝ep／(1－e cosθ)  。    (3)

【16】这是极坐标系的圆锥曲线方程，e 是离心率，极点正是圆锥曲线的焦点，极轴是曲线的对称轴（∵ cos(－θ)＝cosθ）。

【注】

1、从(3)式得 ρ(1－e cosθ)＝ep，

即 ρ＝e(x＋p)，

∴ ρ²＝e²(x＋p)²  。

由此可得(3)式的直角坐标系方程是 (1－e²)x²＋y²－2e²px－e²p²＝0  。

2、从第五章5-7节，我们知道

0 ≤ e＜1 是椭圆，e＞1 是双曲线，e＝1 是抛物线。

习题7-3~7-5

1、设两点的坐标是 (ρ₁，θ₁)，(ρ₂，θ₂)，求证两点的距离是

  。

2、求下面每两点间的距离（应用上面公式）：

(1) (2，π/12)，(1，5π/12)；

(2) (－3，－70°)，(－4，－160°)  。

3、一个三角形，它的一个顶点在极点，其他两个顶点是 P₁(ρ₁，θ₁)，P₂(ρ₂，θ₂)，求证这三角形的面积是：

  。

如 P₁ 和 P₂ 两点的坐标分别是 (－5，109°) 和 (4，49°)，计算 △OP₁P₂ 的面积。

4、怎样从圆的直角坐标方程 (x－x₁)²＋(y－y₁)²＝r² 变换到7-5节(2)所讲述的极坐标方程。[提示：从变换公式 x＝ρ cosθ，y＝ρ sinθ 及 x₁＝ρ₁ cosθ₁，y₁＝ρ₁ sinθ₁ 代入化简，整理 ]

5、对圆锥曲线的极坐标方程：ρ＝ep／(1－e cosθ)

(1) 加以简单讨论；

(2) 当 p＝4 时，按照下列 e 的数值作出各个曲线：(ⅰ) e＝2；(ⅱ) e＝1；(ⅲ) e＝1/2  。

(3) 变换上面(2)题的曲线极坐标方程为直角坐标方程。

6、一定点 O 与一条定直线的距离是 a，从 O 向这直线作射线交它于 Q，今于 OQ 上取 P 点，使得： 

(1) OP·OQ＝a²；

(2) OP＝(1/2)OQ；

(3) OP＝OQ＋b  。

求各个 P 点的轨迹的极坐标方程，并描它们的图象。

7、过一定圆（直径为 a）上的一定点 O，作这圆的弦 OQ，在 OQ 或其延长线上取一点 P，使得：

(1) OP·OQ＝a²；

(2) OP＝(1/2)OQ；

(3) OP＝OQ＋b  。

求各个 P 点的轨迹的极坐标方程，并描出它们的图象。

8*、在圆周上一定点 O 作直径 OA，再在 A 点作这圆的切线 LK，从 O 作一任意直线交圆于 D，又交 LK 于 E  。今在 OE 上取一点 P，使 OP＝DE，求 P 点的轨迹的极坐标方程，并把它变换为直角坐标方程。

【

】