1 重积分的应用

通过前面的学习，我们知道了可通过二重积分来计算曲顶柱体的体积，如下图左侧所示。其实还可通过二重积分来计算空间曲面的体积，如下图右侧所示（具体步骤参见后面内容）。

也知道了可通过三重积分来计算铁块的质量，如下图左侧所示。其实还可通过三重积分来计算太阳对地球的万有引力，如下图右侧所示（具体步骤参见后面内容）。

上述重积分的应用看似不相关，但其背后都采用了相同的方法，即重积分的元素法 。该方法包含四个关键步骤：分割、近似、累加和求极限。下面通过举例来说明这一方法。

2 重积分的元素法

比如想计算左侧图中曲顶柱体的体积，我们可以将该体积分割为若干小的曲顶柱体，如下图右侧所示。

根据前面的学习，可以用若干小长方体来近似这些小曲顶柱体个小长方体的体积为），就可以去近似整个曲顶柱体

时的极限（细节参考二重积分的定义），就求出了整个曲顶柱体的体积，如下图所示。

上述方法关键的在于“用若干小长方体来近似这些小曲顶柱体”，其中的小长方体可笼统地称为 元素 ，故上述方法称为重积分的元素法 。下面来看看该方法更多的应用。

3 元素法的定理

上述定理不进行严格证明，还是通过举例来说明。

4 思路

 对应的函数为 ， 为曲面 在 面上的投影区域，如下图所示。

 划分为 个小矩形，观察第 个小矩形 及其对应的小曲面 ，如下图所示。

 对应的、切点位于 点的小切平面 来近似 ，如下图所示。

 划分得越来越细，对应的小切平面也越来越多且越来越小，如下图所示。此时这些小切平面可很好地近似曲面 ，从而这些小切平面的面积也可很好地近似曲面 的面积，这就是接下来的求解思路。

5 曲面的面积

 的面积。小矩形 可看作由向量 及 围成，小切平面 可看作由向量 及 围成，如下图所示。

 的边长为 和 ，则围成小矩形 的两个向量可表示为：

 的两个向量实际上就是偏微分的方向向量（对这里不清楚的，可以参考偏导数、偏微分和全微分这一课中的分析），所以有：

 的面积可通过叉积求出，即 ，其中（为了计算方便，这里将 、 简记为 、 ，不会影响之后的结果）：

 以及 ，所以：

 面积后，将区域 划分后对应的小切平面通过积分累加起来，就得到了曲面 在 上的面积 为：

以上内容选自《马同学图解微积分(下)》，服务学习，千锤百炼，颜值在线！