【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第六章参数方程 

本章提要

1、参数方程一般形式是（设 t 是参数）：

消去 t 可得到普通方程 F(x，y)＝0 或者是 y＝Φ(x) 的形式。

2、参数方程的作用

(1) 有些轨迹问题（或有些物理学中的问题），引进参数容易求出它的方程。

(2) 有些曲线，利用参数方程容易描出它的图象。

3、圆锥曲线的直径（设 k 是平行弦组的斜率）

(1) 椭圆：β²x²＋α²y²＝α²β²，它的直径是 β²x＋α²ky＝0；

(2) 双曲线：β²x²－α²y²＝α²β²，它的直径是 β²x－α²ky＝0；

(3) 抛物线：y²＝2px，它的直径 y＝p/k  。

（上式中与 α，β 的大小无关，β² 是 x² 的系数，α² 是 y² 的系数）

4、椭圆与双曲线的共轭直径

(1) 椭圆 β²x²＋α²y²＝α²β² 的两个共轭直径是 y＝kx，y＝k'x，其中 kk'＝－β²／α²；

(2) 双曲线 β²x²－α²y²＝α²β² 的两个共轭直径是 y＝kx，y＝k'x，其中 kk'＝β²／α²  。

复习题六

1、根据所给条件，把下列各方程化成参数方程（θ，t 是参数）：

中，当 x＝a cos³θ；

(2) x²＋4y²－6x＋5＝0 中，当 x＝3＋2cosθ；

(3) x³＋y³－3axy＝0 中，当 y＝tx  。

2、消去下列各式的参数（t，Φ，θ 或 λ）：

3*、在 9x²－4y²＝36 中，求对于 y＝2x＋t 平行弦的直径，又求它的共轭直径。

4*、在上题的共轭双曲线（参考第四章双曲线节）4y²－9x²＝36 中，求以上题的直径的斜率为平行弦组的斜率的直径方程。

【注】从本题的结果看到，双曲线的共轭直径平分一组以原直径为斜率的平行弦，并且也平分一组在它的共轭双曲线中以原直径为斜率的平行弦。

5、设椭圆方程是 β²x²＋α²y²＝α²β²，它的平行弦的倾角是定值 γ，试从平行弦的参数方程 x＝x'＋ρcosγ，y＝y'＋ρsinγ（ρ 是参数），求它的相应直径的方程。

[提示：以弦的参数方程代入椭圆方程，并照 ρ 的降幂次序排列得

(β²cos²γ＋α²sin²γ)ρ²＋2(β²x'cosγ＋α²y'sinγ)ρ＋(β²x'²＋a²y'²－α²β²)＝0，

照图6·18(b)，设 P' 是 P₁P₂ 弦的中点，则上式两根是 ρ₁（PP₁ 的长），ρ₂（PP₂ 的长），今 ρ₁＝－ρ₂，

  。

即 β²x'cosγ＋α²y'sinγ＝0，即 β²x'＋α²tgγ·y'＝0，即 β²x'＋α²ky'＝0，如 P'(x'，y') 以动点 P(x，y) 代替，则前式可改写为 β²x＋α²ky＝0，这就是所要求的直径方程 ]

6*、用上题方法求下列各圆锥曲线的直径：

(1) β²x²－α²y²＝α²β²，它们平行弦的斜率是定值 k；

(2) y²＝2px，它们平行弦的斜率是定值 k；

(3) x²＝2py，它们平行弦的斜率是定值 k  。

7*、椭圆中一对共轭直径，设它们的一半长度为 a'，b'，则 a'²＋b'²＝a＋b²（a，b 为椭圆的半长轴及半短轴的长）。[提示：用 (a cosθ，b sinθ)，(a sinθ，－b cosθ) 为两共轭直径的各一端 ]

8*、在椭圆共轭直径的端点各作切线，围成一个平行四边形，求它的面积。[提示：一直径端点的切线平行于它的共轭直径，所以平行四边形面积＝8(△OPR) ]

9、求双曲线的两个垂直切线交点的轨迹。[提示：方法同6-5节例5 ]

10、求抛物线的两个垂直切线交点的轨迹。[提示：用切线 y＝kx＋p/2k，y＝－x/k－pk/2，再设法消去 y，同时也把 k 消去了 ]

11*、作(1)椭圆，(2)双曲线，(3)抛物线的切线，从焦点向所作切线作垂线，求垂足的轨迹的方程。[提示：用斜率为 k 的切线式 ]

12*、一直线截一双曲线及它的渐近线，证明夹于渐近线与曲线间的线段相等。

[提示：设双曲线为 b²x²－a²y²＝a²b²，    (1)

则它的渐近线是 b²x²－a²y²＝0  。    (2)

又设任意一直线 y＝kx＋r，    (3)

交(1)于 P(x₁，y₁)，Q(x₄，y₄) 两点又交(2)于 R(x₂，y₂)，S(x₃，y₃) 两点。

以(3)代入(1)得 (b²－a²k²)x²－2a²rkx－a²(r²＋b²)＝0  。    (4)

它的两根为 x₁，x₄，

  。    (5)

又以(3)代入(2)得 (b²－a²k²)x²－2a²rkx－a²r²＝0，    (6)

它的两根为 x₁，x₂，

  。    (7)

从(5)，(7)得 x₁＋x₄＝x₂＋x₃，

∴ x₁－x₂＝x₃－x₄  。

，

∴ y₁－y₂＝y₃－y₄  。

再由“已知两点求距离”的公式可推得 PR＝SQ ]

13、设一圆锥曲线的方程是 Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0，它的一组平行弦的斜率是 k，求证它相应的直径的方程是 (2A＋Bk)x＋(B＋2Ck)y＋(D＋Ek)＝0  。[提示：按照6-6节1的方法求直径方程 ]

14、等边双曲线的方程是 xy＝λ，它的一组平行弦的斜率是 k，求证它相应的直径的方程是 kx＋y＝0  。

【

】