【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第四章圆锥曲线——Ⅴ.圆锥曲线的切线和法线 

§4-20切线的斜率

【01】根据切线的定义，我们设 P₁(x₁，y₁) 是曲线上的一定点，P₁T 是经过 P₁ 点的切线，P₂ 是在曲线上与 P₁ 邻近的一点（图4·61）。P₂ 是动点，它可以沿曲线无限地向 P₁ 点接近，因此，当 P₂→P₁ 时，割线 P₁P₂ 的极限位置就是切线 P₁T，因而割线 P₁P₂ 的斜率（用 kP₁P₂ 表示）的极限也就是切线 P₁T 的斜率（用 kP₁T 表示），用式子表示，

【02】就是   。    (1)

【03】因为 P₂ 在曲线上可与 P₁ 点任意靠近，这两点的横坐标和纵坐标就各自相差一个很小的量，在代数里，对横坐标相差的一个很小的量，习惯上用 Δx 表示，对纵坐标相差的一个很小的量，用 Δy 表示（式中“Δ”表示一个微小的差距）。可见 P₂ 点的横坐标可以写成 x₂＝x₁＋Δx，纵坐标可以写成 y₂＝y₁＋Δy，就是 P₂(x₁＋Δx，y₁＋Δy）。

【04】随着 P₂ 点沿曲线逐渐接近 P₁ 点，Δx 和 Δy 也逐渐变小，我们把 Δx 和 Δy 分别叫做 x₁ 和 y₁ 的很小改变量。

【05】从图4·61可以看出，P₁ 和 P₂ 两点的横坐标的差距 P₁Q 就是 Δx，它们的纵坐标的差距 QP₂ 就是 Δy，因此割线 P₁P₂ 的斜率 kP₁P₂，就可以写成  kP₁P₂＝Δy／Δx  。

【06】在(1)式中，当 P₂＞P₁ 时，P₁Q→0，就是 Δx→0，这时 QP₂→0，即 Δy→0，因此(1)式也可以写成：  。    (2)

【07】从(2)式可以知道，对于任何一条曲线上的一点 P₁，只要已知曲线的方程，就可以计算出经过 P₁ 点的切线的斜率。有了切线的斜率，并且知道切线经过 P₁ 点，只要用直线的点斜式方程便可以写出切线的方程。

例1.已知 P₁(x₁，y₁) 是抛物线 y²＝2px 上的一点，求经过 P₁ 点的切线的斜率。

【解】

设 P₂(x₁＋Δx，y₁＋Δy) 是抛物线上与 P₁(x₁，y₁) 点邻近的一点，则割线 P₁P₂ 的斜率是 Δy／Δx，在求这个比。

因为 P₁(x₁，y₁) 点在抛物线上，所以 y₁²＝2px₁  。    (1)

又 P₂(x₁＋Δx，y₁＋Δy) 点也在抛物线上，

所以 (y₁＋Δy)²＝2p(x₁＋Δx)，

即 y₁²＋2y₁(Δy)＋(Δy)²＝2px₁＋2p(Δx)  。    (2)

以(2)－(1)，得

2y₁(Δy)＋(Δy)²＝2p(Δx)，

(Δy)(2y₁＋Δy)＝2p(Δx)，

  。（这就是割线 P₁P₂ 的斜率）

根据上面分析，知道割线斜率的极限就是切线的斜率，因此经过抛物线上 P₁ 点的切线的斜率是

  。

例2.已知 P₁(x₁，y₁) 是双曲线 xy＝K 上的一点，求经过 P₁ 点的切线的斜率。

【解】

设 P₂(x₁＋Δx，y₁＋Δy) 是双曲线上与 P₁(x₁，y₁) 邻近的点。因为它们都在双曲线 xy＝K 上，所以

就(1)，(2)两式解出 Δy／Δx 米，

  。

所以经过切点 P₁ 的切线的斜率是

  。

【08】从上面的例题，我们可以得到求经过曲线上一点 P₁(x₁，y₁) 的切线的斜率的一般法则，那就是：

(1) 在曲线 f(x，y)＝0 上取与 P₁(x₁，y₁) 邻近的一点 P₂(x₁＋Δx，y₁＋Δy)；

(2) 把 P₁ 和 P₂ 两点的坐标分别代入所给的曲线的方程中去，并解出 Δy／Δx（这就是割线 P₁P₂ 的斜率）的值。

  。这个极限就是所求的切线的斜率。

练习

设 P₁(x₁，y₁) 是下列曲线上的一点，求经过 P₁ 点的切线的斜率：