QFT补遗#2：传播子

去年春在南开出的QFT学习笔记，关于传播子这一块相对比较含糊。当时觉得自己的理解有限，确实没有深入。关于传播子，具体的计算推导和物理意义，还是要完善一下。就先从实标量场开始。

实标量场的传播子

实标量场的费曼传播子的定义，应当是：

当年第一次学的时候跟着peskin看的，这一段实在是写得不明不白，搞得我没怎么看懂。

或者说，peskin并没有一开始就把这个定义明确地写出来，物理意义好像也没说。

其实某种程度上我也在犹豫，是仅仅把它看作计算过程中必须经常处理的一个形式，还是试图以某种物理意义去解释它。

从传播子的形式上看，似乎可以这样理解：在时空坐标y处产生一个粒子，它传播到时空坐标x处，这个过程的振幅。

计算细节

不过关键还是要计算。看看从这个形式出发能算到什么。首先场算符：

分别带着湮灭算符和产生算符，正频部分碰到右边的真空、负频部分碰到左边的真空，都会湮灭。于是

计算中用到了一些产生湮灭算符的对易关系，如果不熟悉的话，读者可以回去看一下这个文集在23年春季发的qft笔记。

到这里其实都很基本，但是后面不知道怎么就抽象起来了。这个积分是对3维动量的积分，于是接下来，我们通过某种技巧把它化成对完整4动量的积分，也就是把能量相关的部分也写成积分。我很难想象前人这一步是怎么走过去的，如果能凭空给出这个积分也是神了，但是就我目前看过的各种教材，基本上都是直接写出的这个形式：

 是为了绕开实轴上的奇点。

那不如就来试着反推一下，把3动量和时间分量的积分分开来，

.

.  后面那个积分，就可以试着用留数处理一下。

如果求被积函数的奇点，会找到两个极点，由于小量 ε 的存在会小小偏离实轴，大概像这样。

要想用上极点的留数，这个沿整个实轴的积分还要想办法加上一个无穷远的半圆构成完整回路。

这里就写得再细一点，看一下无穷远的情况。印象中这里最好是用一下数理方法提到过的Jordan引理来确定到底是选上半圆还是下半圆，但是我已经不太记得了。

，R趋向无穷，那远处大概会是如下形式

，就选下半圆(这样sinφ<0)，反之，选上半圆。

计算细节就不展示了，就以x0>y0为例，选下半圆之后只有第四象限那个贡献了留数，并由于是顺时针多加一个负号，那么结果就是

另一个x0<y0的情况也类似，这里也不展开了。代回前面的推导，就会发现全都对得上，所以我们终于证明了

.

那么一定把这个积分写成这个形式的意义是什么呢？我想大概是因为这个形式刚好是一个四维的傅里叶变换，这样用瞪眼法就可以直接看出动量空间的传播子了：

这个形式就很好用了，因为以后推导费曼规则，算费曼图往往是在动量空间进行，费曼图中的每一个内线都将贡献一个动量空间的传播子。

其他场的传播子

到这里为止，其实只推了实标量场。别的场有的算法很接近，如复标量场；有的会更麻烦，如矢量场。在余老师的讲义6.4有完整的推导，这里也就不搬运了，而且我自己也都还没完整推一遍。https://yzhxxzxy.github.io/teaching/1807_QFT.pdf

所有这些推导，最后都变成了费曼规则的一部分。实际上，即使所有的计算细节都不知道，只背了费曼规则，技术上也是可以完成场论在一些具体散射问题上的应用的。

（有时候自己推一下这些主要是过把瘾，理论物理对我来说一直有一种不同寻常的引力，只是我的天赋不支持我硬啃纯理论，这才来做粒子实验）

其实后面一些关于多点关联函数的东西也想学习一下，但是还没看懂。写到这就先发到这吧。