挺有用的常微分方程（重置2）
我们上一次讨论了有关常系数齐次线性微分方程的相关内容，针对其解法做了充分的说明。现在，我们要将目光转向更为一般的方程——非齐次方程，以期能够对相当一类方程找到一个十分系统的解法。
有了前面讨论的基础，我们后续的讨论都将在前面已有的内容上进行，还请各位小伙伴能够对前面的内容仔细理解好，这能够让我们更容易接受后面的内容。
Chapter Special One 常系数线性方程
S1.2 常系数线性非齐次方程
我们已经研究过对于形如下式的微分方程：
在右侧函数为0时的情况。现在，我们要针对性地研究右侧函数不为0时的解法。考虑到齐次方程与非齐次方程之间仅有右侧函数的差异，我们不妨大胆假设这两类方程的解之间也只有很小的一部分解的形式上的差异，比如说：
为方程的特征值。可以看到，这个时候我们只是把原本针对齐次方程的解的形式中指数函数前的常数系数换成了一些待定函数。由于这只是一种假设，因此合理与否只看我们能否在此基础之上导出合理的结果。现在，引用算子，我们对该函数做一些处理。
注意，这里我们使用了平移公式，这个结论已经在S1.1的思考中出现。这个结果启发我们，如果右侧函数具有形式：
的形式，于是我们就可以将原方程分解为n个这样的方程：
现在，我们仍然可以令分解出来的方程的右侧函数为0，此时的结果将与上一篇的讨论结论相同，解应该具有这样的形式：
现在，我们讨论一些更一般的情况。在诸多函数当中，我们最熟悉也最好处理的莫过于多项式函数，有关多项式函数我们也有很多的相关结论。因此，我们不妨考虑一下右侧函数为多项式函数时的情况，即：
多项式函数的特点是，其积分和求导以后得到的仍然是多项式函数（我们只针对整数指数的多项式而言，对于分数指数和无理数指数我们目前并不关注），因此，我们能够自然得到：
我们不必在这里强求解中多项式与方程中右侧函数之间的系数关系，在实际的解方程场合当中我们自有简便的计算方法。现在，我们知道，对于形如：
这样的常系数非齐次线性微分方程而言，其有如下形式的解：
我们想知道，非齐次方程的通解应该是什么样的。通过微分算子的性质，我们不难知道：
于是，我们就能够知道，如果有两个函数g和h，它们分别满足：
则应有：
这说明，对于非齐次方程而言，它的解总可以被拆分成齐次方程的解和另一个非齐次方程的解之和。我们已经知道了齐次方程的通解的形式，现在，对于非齐次方程来说，是否其通解可以通过非齐次方程的通解来表示呢？
答案是显然的。设若g和h是任意两个非齐次方程的解，那么它们的差g-h就应该是齐次方程的解。又因为齐次方程的通解我们是知道的，而这两个解是任意的，于是我们总可以固定其中一个，另一个解就可以通过加上齐次方程的解来得到。这样就可以通过某一个非齐次方程的特解，以及齐次方程的通解来生成非齐次方程的通解。至此，我们就完成了一类非齐次方程求解的讨论。
此外，我们还应关注，我们的假设实际上并不是基于求通解而做出的，实际上只需要能够给出一类特解即可。因此，当右侧函数中指数函数前的函数为多项式函数时，我们假设解函数中指数函数前的因子函数也为多项式是合理的，因为这当然可以做到，多项式的优良性质在此可见一斑。（事实上当然不一定都是多项式函数，指前因子函数可以带有由齐次方程解出来的指数函数项，但很显然这只会让讨论变得更为复杂且无意义。）
但请注意，此时我们的方程还有一个非常大的限制。我们现在需要右侧函数中指数函数的指数系数要与方程的特征值一致。那么，如若不然呢？
事实上，我们应该想到，对于非齐次方程来说，其通解是通过非齐次方程的某一个解和齐次方程的通解来生成。齐次方程的通解通过引入算子之后直接依据方程本身得到，也就是说齐次方程的通解表明了有关方程的主要部分的全部性质（通过特征值和重数来表示，重数体现在某一特征值对应的指数函数的指数前多项式函数的次数）。那么，非齐次方程的解的特征就应该通过某一个特解来完全表明，这个特解的性质应该与方程的右侧函数的性质有关。此时，我们就应该意识到，我们应该更改我们对解的假设中指数系数的限制，即，各应该对应右侧函数中指数函数的指数系数。
现在，我们对于任意形如：
的常系数非齐次线性微分方程都可以求解。
我们最后要讨论的，是解函数中多项式函数的次数。尽管我们不具体求解多项式函数系数的表达式，但是我们还是有必要弄清楚，解函数与右侧函数关于多项式次数之间的关系，因为我们当然不可能无限制的设置多项式的次数，虽然通过具体的求解过程我们总可以消除次数过高的项（通过待定系数得到系数为0），但我们总归还是不想有那么多的麻烦在内。
我们考虑平移后的特征多项式：
满足：
那么此时自然有：
将这个算子作用到多项式函数上去，得到：
，于是作用后的函数的次数为，结合我们对右侧函数的设置，应该有：
不是方程的特征值的时候，显然任何重数都不起作用，因此q=m。
是方程的特征值的时候，应有：
不是方程的特征值的时候，应有：
这类方程是否普遍呢？亦或者说我们的讨论是否能够帮助我们解决相当一部分常系数非齐次线性微分方程的求解问题呢？非常令人欣慰的是，这个问题的回答是肯定的。事实上，指数函数的形式由于复数指数的引入变得丰富了很多。考虑到Euler公式的存在，三角函数也可以被视为指数函数的一类；整数指数多项式函数可以被视为特征值为0的指数函数与多项式函数的乘积；指数函数本身当然是符合形式的。因此，对于由三角函数，多项式函数以及指数函数组成的函数作为右侧函数的方程，我们目前已经能够全部求解了。这时候涉及到的方程的范围已经是相当广泛了。
我们仍旧做一个总结。继常系数齐次线性微分方程之后，我们讨论了一类特殊的非齐次方程，其右侧函数具有形式：
我们称这样的函数f为拟多项式函数。此时，我们考虑到齐次方程的解的形式，猜测非齐次方程的解应该具有形式：
通过我们的分析，我们知道对于右侧函数为拟多项式的非齐次方程来说，应该有：
是方程的特征值的时候，应有：
不是方程的特征值的时候，应有：
这样的结果给出的实际上是非齐次方程的一类特解，利用齐次方程的解，我们可以根据这类特解生成非齐次方程的全部解，即非齐次方程的通解=非齐次方程的一个特解+齐次方程的通解。这样的结果能够让我们求解所有由三角函数，指数函数以及幂函数组合出来的函数作为右侧函数的常系数线性微分方程。（仅考虑简单乘法和加法，并且三角函数不在分母上等一系列情况。）
思考：
解下列微分方程：
；；；量子力学中非常重要的一个方程——Schrodinger方程，是一个二阶偏微分方程。该方程被用于描述微观粒子在三维空间中的运动状态。通过一系列的假设和处理，我们最终可以通过变量分离将其分成两个方程——能量方程和时间方程。对于一维空间，这两个方程分别有以下形式：
是物理常数，m＞0，i为虚数单位。试解此方程，并针对V与E的不同取值关系（相对大小）讨论解函数的形式。
最後の最後に、ありがとうございました！