简单介绍初次攻击分布的推导

一个放置充分长时间的发射子弹植物，于任何一个时间点，距离其下一次触发攻击时间点（不包含当前时间点）的时长x，服从一个固定的分布律。该分布律只与植物自身的攻击间隔有关，也被称为初次攻击分布。

用马尔可夫链来解决这个问题。“任一个时间点对应的下一次攻击时长”对应的就是马尔可夫链的一个状态；每cs发生一次状态转移，而且仅与前1cs的状态相关。求这个所谓的初次攻击分布，也即求给定的初始分布下的极限分布（如果存在的话）。

初始分布是什么样的

以豌豆射手为例，其刚刚被种下的第0cs初，其内存值被设置为0~150（对应初次攻击间隔0cs~150cs）的每个概率（写成向量）就是：

但是遇到内存值为0的情况又会瞬间以等概率设置为136~150间的值，即0cs末该向量变为

因为我们只考虑 “下一次触发攻击的时间点” 因此就去掉第一个代表0cs概率的元素

这就是给定的初始分布。

状态转移矩阵：

 的转移概率全部为1。

 的概率全部为 1/15。

容易写出状态转移矩阵：

容易证明：该马尔可夫链有限、不可约、非周期。因此它的平稳分布存在且唯一，任意给定初始分布的极限分布都是这个平稳分布。

直接来考虑更一般的情况：

n 是植物最大攻击间隔，k = 最大攻击间隔 - 最小攻击间隔 + 1。对于我们讨论的植物而言，都有 k=15

于是状态转移矩阵

同样可以证明其极限分布存在唯一，我们不需要关心初始分布是什么。直接求解

其中向量x表示分布，每个元素是一个概率：

得到

它就是我们求得的初次攻击分布。

代入k=15，n=150，200，300可以得到发射类植物，忧郁菇，投掷类植物对应的初次攻击分布（重写成分布的形式）：

发射类植物（间隔136~150）

忧郁菇（间隔186~200）

投掷类植物（间隔286~300）

另一种表述：有时候初次攻击分布表述为“最早触发攻击的时长（0cs~149cs）”对应的概率分布。

现在初始状态其实是植物0cs种下后第1cs的初始状态:

取前0~149cs，最后得到相同的初始分布、状态矩阵与平稳分布。只不过现在向量x的含义变为：

对应的是。