【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第七章极坐标

§7-1极坐标的意义

【01】极坐标是另外一种重要的坐标法，有一部分几何轨迹题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便，在数学分析中经常要用到它。本章主要讲极坐标的意义和利用它解决部分轨迹题，以及从极坐标方程描绘曲线的方法，又对几种重要而又常见的曲线描出它的图象，并且对它们的性质加以简单的讨论。

【02】在平面的直角坐标系中，是以一对实数表示着两个距离来确定平面上一点的位置的，今叙述另一种坐标法，它对平面上的一点的位置虽然也是用一对实数确定它的，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个则是指示方向。这种方法，我们过去在测量上用得很多，即使在日常生活中也是经常用到它的。譬如说，一个火车站处在你的东北方向（测量上说北 45° 东），且离你有五里远，如果要作图表示火车站的位置时，可以设 O 点代表你所站的位置，P 点代表火车站（作为一点）所在地，Ox 表示向东的一根射线，又定一个单位长度。如图7·1，在此 | OP |＝5个单位长度，∠xOP＝π/4（即 45°）。

【03】今 OP 的长度定了，又 ∠xOP 的大小也定了，这样 P 的位置就确定了（图7·1）。一般地说，取一个定点 O，称为极点，作一水平射线 Ox，称为极轴【规定方向自左至右】，在 Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系。一点 P 的位置，可以由 OP 的长度及 ∠xOP 的大小决定它的，这种确定一点位置的方法，叫做极坐标法。具体地说，假使平面上有点 P，联 OP，今设 OP＝ρ，又 ∠xOP＝θ  。ρ，θ 的值确定了，则 P 点的位置就确定了。ρ 叫做 P 点的极半径【也叫动径，ρ 读 Rho 音】，θ 叫做 P 点的极角，(ρ，θ) 叫做 P 点的极坐标（规定 ρ 写在前面，θ 写在后面）。很显然，每一对实数 (ρ，θ) 决定一个点的位置。

【04】今以 θ 的值【角 θ 的单位可用弧度制，也可用 60 分制】可为任何的正的或负的值（动径依反时针方向转动所成的角规定为正，顺则为负），又为处理上便利起见，ρ 也可以是负的值。如图7·2，OC 为角 θ 的终边，规定在 OC 上度量的数为正，而在 OC 的相反方向，即 CO 的延长线上度量的数为负。图7·2中 | OP |＝| OP' |＝5，但 OP＝5，OP'＝－5  。

【05】ρ，θ 的值照上面这样扩大之后，则在极坐标系中，一点的坐标有无穷的实数对，故称它为多值性。例如在图7·2里，可以看到 P 点的坐标一般写 (ρ，θ)，也可以是 (ρ，2π＋θ)，(ρ，4π＋θ)，(ρ，6π＋θ)，……，又 P' 点的坐标也可以是 (－ρ，π＋θ)，(－ρ，3π＋θ)，(－ρ，5π＋θ)，……，所以一点的坐标一般是 (ρ，2nπ＋θ) 或 [－ρ，(2n＋1)π＋θ]，其中 n 是整数【2n 是代表所有的偶数，2n＋1 代表所有的奇数】。

【06】但假使 ρ 约定取正值，又 θ 规定在－π 与 π 之间（也可规定在 0 与 2π 之间），则在极坐标系中：每一个定点确定一对实数 (ρ，θ) 的数值。

例1.作出下列各点：(10，π/6)，(10，－π/6)，(－10，－π/6)，(－10，π/6)，(10，2π＋π/6)，(－10，⁻5π－π/6)  。

【解】

设所求各点依次是 P₁，P₂，P₃，…P₆（图7·3）。

(1) 定 P₁：因 θ 为正，依反时针方向把 Ox 转过 π/6 角至 OC 位置，又因 ρ 为正，就在 OC 方向截取 OP₁＝10，就得到 P₁ 点。

(2) 定 P₂：作一线 OD，使 ∠xOD＝－π/6 角，再在 OD 上取 P₂，使 OP₂＝10，就得到 P₂ 点。

(3) 定 P₃：因 θ＝－π/6，如(2)作 OD，今因 ρ 为负，延长 DO 至 P₃，使 | OP₃ |＝10，就得到 P₃ 点。

(4) 照上面方法作出 P₄  。

(5) P₅ 点就是 P₁，因 ρ 的值相等，只是角多转一周。

(6) 定 P₆：今－5π－π/6＝－4π－(π＋π/6)，它的终边与－(π＋π/6) 的终边相合，即在图上 OP₃ 的位置，今因 ρ 为负，故须在 P₃O 的延长线上取点 P₆ 使 | OP₆ |＝10，所以 P₆ 即是 P₂  。

例2.在图7·4上有四点 P₁，P₂，P₃，P₄，根据图上所标的位置，并且遵照下面所给的条件写出它们各点的坐标：

(1) 设 ρ 必须为正，θ 限制在－π 与 π 之间；

(2) 设 ρ 必须为正，θ 限制在 0 与 2π 之间；

(3) 不限定 ρ 的符号，但 | θ | 须是最小值。

【解】

【07】在例2中 P₁，P₄ 对称于极轴，P₁，P₂ 对称于 90° 线【图7·4中的 Oy 线，它与极轴成 90° 角，一般就叫它是 π/2（或 90°）线；同理，Ox' 叫做 π（或 180°）线等】；P₁，P₃ 对称于极点，因此可以得到下面关于对称点的性质：

【08】今设 P₁(ρ，θ)，从图7·4上看到：

(1) P₄ 与 P₁ 对称于极轴：

因为一点的多值性，所以 P₄ 的坐标为 (ρ，－θ)，(－ρ，π－θ)，(ρ，2π－θ)，(－ρ，－π－θ)，…很多，我们只写出常用到的两种，就是：

(ρ，θ) 与 (ρ，－θ) 两点关于极轴对称（只变 θ 的符号）。

(ρ，θ) 与 (－ρ，π－θ) 两点也关于极轴对称（变 ρ 的符号，同时以 π－θ 代 θ）。

(2) P₂ 与 P₁ 对称于 90° 线：

常用到的两种情况是：

(ρ，θ) 与 (ρ，π－θ) 两点关于 90° 线对称（只用 π－θ 代 θ）。

(ρ，θ) 与 (－ρ，－θ) 两点也关于 90° 线对称（同时变 ρ 与 θ 的符号）。

(3) P₃ 与 P₁ 对称于极点：

常用到的两种情况是：

(ρ，θ) 与 (－ρ，θ) 两点关于极点对称（只变 ρ 的符号）。

(ρ，θ) 与 (ρ，π＋θ) 两点关于极点对称（只用 π＋θ 代 θ）。

【09】现在须注意几点：极轴相反方向为 π 线，又 π/2 线相反方向为 3π/2（即 270°）线，今 P₂，P₃ 关于 π 线对称，但在习惯上还是说关于极轴对称，同理 P₃，P₄ 也说关于 90° 线对称。

练习

1、在极坐标系中，定出下列各点的位置：

(12，72°)，（－12，72°)，(12，－72°)，(－12，－72°)，(－2，17π/5)。(－12，－3π/5)  。

2、观察图7·5上 P，Q，R 三点，当

(1) ρ＞0，－π＜θ＜π；

(2) ρ＞0，0＜θ＜2π；

(3) ρ 为正或负，但 | θ | 值须最小时，

分别写出它们的坐标。