引力波具体长什么样子？《张朝阳的物理课》求解弱场引力波方程

张朝阳求解弱场引力波方程

引力波有什么样的作用呢？其具体形式是什么样的？又该如何具体观测引力波的存在？12月15日中午12时，《张朝阳的物理课》第二百三十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，延续上一次的课程，在得到度规的微扰所满足的波动方程后，具体求解了度规的形式，介绍了引力波的两种模式，并利用测地偏离方程介绍了引力波导致的可观测效应。

张朝阳推导引力波的具体形式

广义相对论的基本框架

张朝阳首先带领大家回顾了广义相对论的基本框架。 广义相对论表明物质的存在导致时空弯曲。当探究粒子在弯曲时空中的运动时，可以放下其“受到引力”这样的观点，而直接地认为粒子需要在这弯曲的时空中走出一条“最短的线”。借助一个二阶张量即度规可以描述时空的弯曲。度规的一阶导数可以定义克氏符，进而可以描述基矢随坐标的变化。再对克氏符求一次导数并以特定方式进行组合，可以定义空间的黎曼曲率，时空是否弯曲正由黎曼曲率来决定。这样来，黎曼曲率实际上由度规的二阶导数组成，如果黎曼曲率为0，说明时空是（局域）平直的，如果不为0，说明时空是弯曲的。

时空如何弯曲是由物质存在决定的。如果想得到度规具体是多少，就要搞清楚度规与物质存在的具体关系，描述这一关系的正是爱因斯坦场方程。黎曼曲率是一个四阶张量，并不显含在爱因斯坦场方程中，而其经过特定缩并之后可以得到里奇张量，这是一个二阶张量，这个张量显含在方程中。当然，里奇张量也包含了度规、克氏符等信息。当假定度规的形式后，就可以将其代入场方程反解出度规，有了度规之后，就能很好地描述时空的弯曲。

当需要描述测试粒子在时空中的运动时，就可以求取克氏符，进而求解相应的测地线方程得到粒子的轨迹。之前的课程中曾经求解过光线在恒星附近的轨迹弯曲角度，这也是广义相对论早期被实验验证的重要结论之一，这个角度刚好是牛顿力学给出结果的两倍。之前还计算过水星近日点的进动。太阳系的所有行星围绕太阳的公转轨迹其实都不是严格的椭圆，而是不断进动的不封闭曲线。水星距离太阳最近，所以效果最明显。

此外，还求解过广义相对论的恒星内部解。恒星不是单个粒子，其内部需要用密度和压强来描述，进而给出能动张量。借助爱因斯坦场方程，最终可以得到星体内部的静态方程，这将比经典的流体平衡方程多出若干项修正。

引力波的具体形式

在这些静态的例子之外，动态的情形也是非常值得探讨的。比如，爱因斯坦场方程给出的这个时空弯曲，会不会像波一样传播呢？爱因斯坦早在1916年就预言引力波的存在，这一预言最终得到了证实。广义相对论是狭义相对论的推广，狭义相对论表明物理过程有个速度上限，即光速c。自然地可以想，物质导致的时空弯曲也是需要时间传递的，而不可能是瞬时的，这表明了这种波动是很有可能存在的。

爱因斯坦场方程能否给出这个稳定的波动形式呢？爱因斯坦当年对这个问题给出了肯定的回答，这一预言虽然又经历了否定与肯定，终于在20世纪七十年代经过对双中子星缠绕现象的观察而被间接证实。双中子星缠绕旋转时能量和速率不断变化，而这一变化可以被引力波辐射很好地描述。人类首次真正地观测到引力波是在2015年9月14号，美国LIGO的两个激光干涉引力波天文台记录了相应的信号。自此之后，人们发现了越来越多的引力波事件，更精密更庞大的测量设备开始被建设，开启了引力波天文学的新时代。

与电磁波相比，引力波与物质的相互作用要弱得多，因此拥有极强的穿透能力，宇宙相对于引力波来说几乎是“透明”的。宇宙第38万年左右被称为再复合时期，在这期间电子与原子核相互结合，形成了原子。在此之前，可见物质主要以等离子体形式的存在，而电磁波与等离子体有极强的相互作用，这个阶段的演化信息很难通过电磁波的形式留存下来。比如现在能够观察到的宇宙微波背景辐射，是38万年以后留下来的灰烬。但是要注意到，引力波可以很好地留存下来的，这对研究宇宙早期演化有重大意义。引力波天文学是当前的热门，引力波的实际观测是几十年来激动人心的进展。

人类在2015年第一次观测到的引力波实际上来源于距地球13亿光年的双黑洞合并过程。两个黑洞的质量分别为29个太阳质量与36个太阳质量，合并后有3个太阳质量的能量以引力波的形式释放了出来，经过13亿年的传播在2015年9月份的时候到达了地球。引力波到地球之后，实际上已经非常微弱。在弱场的近似下，可以将非线性的爱因斯坦场方程化为一个线性的方程，这正是上一节课所做的事情。

正如求解史瓦西度规等问题时，要先假定一个度规的形式，进一步求解爱因斯坦场方程。

上节课得到

也即

对于这样的达朗贝尔方程，可以假定解具有以下形式：

在该形式下，如果要满足方程(1)，需要

假定波沿着z方向传播，即

可以得到

则

为了在数学计算之前首先获得一些直觉，张朝阳展示了一些图像：

双黑洞合并并释放引力波｜图自网络

当平面引力波（横波）经过LIGO的探测装置时，会对时空产生挤压。LIGO装置由两个相互垂直的4公里长的干涉臂组成，激光被分为两束分别在两个干涉臂里来回传播，最终汇聚进行干涉。由于引力波对两个干涉臂带来的挤压不同，导致光经过的距离是不同的，就可以产生干涉。引力波的模式有两种，直观来看，一种是在XY两个轴上交替挤压，一种则是在45°角的方向交替挤压。接下来张朝阳具体计算了这两种模式。

引力波“+”模式示意图

引力波“x”模式示意图

为了求取引力波的具体形式，需要求出极化矩阵c的值。正如上节课分析，在洛伦茨规范条件之外，还存在多余的四个坐标变换的自由度。经过恰当地坐标选取，可以得到如下TT规范（即横向无迹规范，具体导出参见附录）：

空间条件

无迹条件

横向条件

通过横向条件(4)可以得到

再结合空间条件(2)，马上可以得到c应该有如下形式：

注意无迹条件(3)，于是

正是两个自由度，对应两种模式，分别由c11和c12来描述。

引力波的测量

如何去具体测量引力波带来的时空弯曲呢？首先可能想到测地线方程。测地线方程可以给出测试粒子在弯曲时空中的运动轨迹，而有无引力波确实会让粒子的测地线发生变化，但是观测时同处一片局域时空的观测者如果无从参考的话还是无法确认引力波的存在。为了确认这种时空弯曲的变化，就需要两个测试粒子。这两个粒子的位置在开始时非常相近但又不同，随后两个粒子在引力场中运动轨迹的不同可以给出引力场的信息。描述这种轨迹差别的方程不再是测地线方程，而是测地偏离方程（geodesic migration equation），这里暂时不加推导地给出它的形式：

当粒子速度相对光速很低，并且引力波带来的引力场很微弱时，可以假定四速度有以下形式

方程简化为

这其中需要求取黎曼曲率张量。注意弱场近似下，可以忽略高阶项，则有

克氏符有如下形式

注意引力波的形式(5)，上边这些项里只要h含有一个0下指标就为0，于是测地偏离方程化为

当考虑引力波的+模式时，c有如下形式

进一步

s¹即x方向的形变，s²即y方向的形变，可以得到如下近似解

可以清楚地看到xy方向的交替挤压过程。

张朝阳求解引力波背景下测地偏离方程

内容补充

TT规范条件对于课程中的求解至关重要，本部分将展示该条件是合理的。从上节课的讨论出发，上节得到

以及洛伦茨条件

实际求解就会看到，这两个方程并不能唯一地确定h的形式，这意味着还有冗余的自由度。这些自由度可以通过以下变换显示出来

这里对坐标进行了无穷小变换并加以限制，变换后h与变换前的关系为

经过验证可以发现新的h同样满足达朗贝尔方程与洛伦茨规范条件。这样来，引力波会留下10-4-4=2个自由度。如上提到的四个自由度并不一定会使问题变得复杂，合理地选择规范反而可以使问题简化。正如课程中推导时使用的TT规范条件，不仅成功地限定了这四个自由度，还为求解问题带来了方便。为了说明TT规范条件是合理的，只需要构造出一组坐标变换使得新的h满足三个规范条件（空间条件、无迹条件、横向条件）即可。经过尝试可以发现以下构造符合要求：

由于h满足达朗贝尔方程，而这组矢量是利用h构造的，因此也满足达朗贝尔方程，这意味着新的h仍然满足达朗贝尔方程和洛伦茨规范条件。接下来将对空间条件、无迹条件、横向条件一一进行验证，证明这个变换找到了新h满足TT规范条件。首先是空间条件

进一步求取变换后h的迹

使用h的达朗贝尔方程

可以得到

再使用洛伦茨规范条件

可以得到

可见无迹条件得到了满足。另一方面，

注意到

这里再次使用了达朗贝尔方程。继续使用洛伦茨规范条件可以得到

可以发现横向条件得到了满足

通过以上构造和推导，空间条件、空间条件和无迹条件都得到了满足。忽略这些繁琐的记号，并在TT规范的条件下直接求解以下方程是合理的。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频APP“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。