【格物致知·几何】5-7-07经验公式『数理化自学丛书6677版』

作者：山嵓发布时间：2024-09-17

【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

附录

经验公式

1、经验公式的意义

【01】自然界的事物在不断变化发展中，人们对事物的认识，往往是在实践过程中透过事物的现象，寻求事物变化的规律，使认识逐步地接近客观真理。自然科学的一般定律（如我们所学习过的物理、化学：生物等知识），也都是通过观察或实验，发现有些变量之间在连续变化过程中的相互关系，再通过多次的精密实验，根据实验记录下来的近似数据，求出变量间的函数关系，并用一个数学式子近似地表示出变量间关系的规律。例如在生产实践或工程进行中有时也需要通过调查研究，根据记录的近似数值，寻求两个（或几个）变量间的近似函数关系式子，以便深入研究，积累经验，掌握它们变化的规律，上升到理论，然后反过来进一步再指导实践。

【02】在掌握方程基本知识之后，我们就可以从实验数据，把两个变量之间的对应近似值列成一个表，用这些对应的值作为一点的坐标，在直角坐标纸上定出各点的位置，尽量靠近这些已得的点子，把这些点子描成一条曲线，用这条曲线近似地表示这两个变量的函数关系的图象。

【03】象这种根据实验数据，所描绘出来的曲线叫做经验曲线，根据实验数据建立的函数表达式，叫做经验公式（或叫经验方程）。经验公式的一般理论和方法的研究，超出本书范围，我们现在只介绍最简单的一种直线型公式。

2、直线型公式

【04】直线型经验公式是二元一次方程，它是经验公式中最简单的一种，也可以说是最基本的一种。一部分比较复杂的经验公式，可以设法借助直线型公式而推演出来。凡是经验曲线是近乎直线的，我们就假定它是 x，y 两变数的一次方程，它的形式是 y＝kx＋b，求直线型公式，只要从已知数据求 k 和 b 的值就可以了。今举例如下：

例1.在不同的圆内，分别量得圆周长度 (C)，与直径长度 (D) 之间的关系如下表，求圆周长与直径长两者的关系式。

【∆C 表示每次 C 所增加的数】

【解】

根据表中对应的值在坐标纸上定点，可以看到这些点大致在一条直线上，用透明的直尺（或拉紧一条细线）的边缘，在这些点之间移动，选择一条与各点都较接近的直线作为经验公式：C＝kD＋b 的图象。

现在只要求出 k 和 b 的值，经验公式就完全决定了。

求 k 和 b 的值有两种方法：

第一法：适当的选取表中两组对应值（现在只须选择一组的值，因为 D＝0 时，C 一定是 0），例如 D＝10，C＝31.43，所以

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7D0%3Dk%5Ccdot0%2Bb%2C%26(1)%5C%5C31.43%3D10k%2Bb%2C%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

从(1)，b＝0，代入(2)得 k≈3.143 。

因此所求的经验公式是方程 C＝3.143 D 。

这一个方法叫做选点法，方法是：选择比较靠近曲线的两点，代入经验方程以求出未定的系数。

第二法：把表上数据分别代入方程 C＝kD 中，得到若干个数字系数方程，把这些方程分成个数相同（或相差一个）的两组，各组方程的两边分别相加，得

两式再相减得 31.42＝10k，

∴ k≈3.142，

因此所求的经验公式是 C＝3.142 D，

这一个方法叫做平均值法。

例2.溶解碘化钾（KI）于 100 克的水中，跟着温度升高，溶解量也增加，设 T（度）代表温度，W（克）代表溶解的 KI，今从实验测得如下表的数据，求 W，T 的函数关系式。

【解】

今从图上看，各点大致在一条直线上，所以我们假定经验方程的类型是直线型，它的方程是 W＝kT＋b 。

用选点法，今选择 (10，136.3) 及 (40，160.0) 两点代入上式得

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Bcases%7D136.3%3D10k%2Bb%2C%26(1)%5C%5C160.0%3D40k%2Bb.%26(2)%5Cend%7Bcases%7D$

(2)－(1)，得 23.7＝30k，

∴ k≈0.79 。

代入(2)得 b≈128.4 。

因此所求的经验方程是 W＝0.79T＋128.4 。

下面再用平均值法解：以前面三对及后面三对的值分成为两组，

计算得 k≈0.798，b≈128.267，

取两位小数，得所求方程是 W＝0.80T＋128.27 。

【注1】用平均值方法所求结果，它的精确度一般是比用选点法所求的为高。

【注2】由于所用的度量器具不能尽善尽美，而观察者在观察时又不可能无误差，所以实验数据都是近似值，因此在经验方程中所求得的数值也都是近似值。又以变数间的关系复杂，所联得的经验曲线也只是基本上通过这些已知点，所以经验方程一般只是在自变数数据的最大，最小值两端的间隔内才能适用。

【注3】

在 y＝x＋b 中，设 x 增加 ∆x，相应地 y 增加 ∆y，则 y＋∆y＝k(x＋∆x)＋b，相减得 ∆y＝k·∆x，假使 ∆x 是定数，则 ∆y 也就一定。就是说假使 x 按照等差级数递变，则 y 相应的每邻接两数的差必为定数，因此我们推到：

如表上的 x 值按照等差递增（或递减），而 y 的每相邻的两数值的差是常数（或接近于常数）时，则它的经验曲线是一条直线（或近于一条直线），经验方程是 y＝kx＋b 型，如上面例1，∆c＝31.35，31.43，31.51，31.41，31.44 几乎相等，所以就可决定它的相应经验曲线是接近于一条直线，又例2的 ∆W＝7.9，8.0，7.8，8.2，8.1，它们各相差不大，也就是说可以肯定它的经验曲线是一条直线。

例3.在上海附近某地区测验重力加速度，利用一种仪器在实验中测得结果如下：

试从上面的数据，求这地区的重力加速度的近似值。

【解】

我们已知 S＝(1/2)gt² 。

现在需要求上海附近地区 g 的值，今用平均值法把实验数据分作两组：

(2)－(1)，15.68＝0.016g，，

∴ g＝980.00厘米/秒² 。

3、利用直线型公式求其他类型的经验公式

【05】有些简单的其他类型的经验公式可以转化为直线型的经验公式来研究。现在介绍如下：

(1) y＝kxⁿ 型

【06】取对数得 lgy＝n lgx＋lgk，（以 10 为底）

【07】令 lgy＝y'，lgx＝x'，lgk＝b

【08】即得 y'＝nx'＋b 。

【09】所以在一组数据中，求每一对的对应值的对数值作为一点的坐标，用它作出经验曲线，如接近于一条直线，再设法求得 n，b 的值，那么它的经验公式就是 y＝kxⁿ 型了。

(2) y＝ceᵏˣ 型

【e 为自然对数底，它的近似值是 2.718，又 lge＝0.434】

【10】取对数得 lgy＝k lge·x＋lgc，

【11】令 lgy＝y'，k lge＝k'，lgc＝b，

【12】则 y'＝k'x＋b 。

【13】所以在一组数据中，求每一对的 x 值及对应的 y 值的对数作为一点的坐标，描出的经验曲线如接近于一条直线，再设法求出 k，b 的值，那么它的经验公式就是 y＝ceᵏˣ 型了。其中 c 从 lgc＝b 中求得，又 k＝k'÷lge＝k'÷0.434＝2.303k' 。

(3) 对于特殊的几种情况

【14】当数据中的自变数的数值比较简单时，它们的经验方程也可用比较简便的方法求出，如

(ⅰ) y＝kx²

【15】它是属于上面 y＝kxⁿ 型，只是 n＝2，它在数据中用 (xi²，yi²) 作为一点的坐标（i＝1，2，3，……，以下同），描出的图象如接近一直线，那就可以肯定经验方程的形式了。

(ⅱ) y＝k／x

【16】今 y＝k/x＝kx⁻¹，所以也属于 y＝kxⁿ 型，用 (1/xi，yi) 作为一点的坐标，描出的曲线如近于直线，那就能决定它的经验方程形式。

【17】但当数据数值比较大时，还是以用对数为便。

例4.温度不变时，在一密闭的气体中，当压强逐渐增大时，容积反而减小，在一次实验中得到容积 V（公升），与所加压强 P（大气压）的记录如下，求 P，V 的关系式。

【解】

今 1/P 的值分别是 1/3＝0.33，1/5＝0.20，1/7＝0.14，1/9＝0.11,1/10＝0.10 。

设 x＝1/P，以 Q(x，V) 各对的值作点，Q 的坐标描出的图形接近于一直线。所以令 V＝kx＋b，

当 P→∞，x→0，V→0，所以 b＝0 。

用平均值法求 k 的值，分数据为两组代入得

(1)－(2)得 2.62＝0.18k，

∴ k≈14.5，

∴ V＝14.5x，

即所求经验方程是 V＝14.5/P 。

即密闭气体在相同的温度下，它的体积与所受的压强成反比例（这就是玻意耳定律）。

练习

1、根据下列各题所列的数据，描出经验曲线，并用选点法求出它们的经验公式：

(1) 根据 x，y 的实验数据（表1）用 (1.0，2.1)，(2.5，6.9) 两点求出 x，y 的关系式。

答：y＝3.2x－1.1 。

(2) 华氏 F(度)与摄氏 C(度)两种温度表，根据实验得到表 2，求它们的关系式。

答：F＝(9/5)C＋32 。

(3) 有一滑轮组，要举起 W(公斤) 的重物，需用 F(公斤) 的力，从实验所得记录（表3），求适合这关系的经验公式 [选用 (20，4.35)，(60，10.40) 两点] 。

答：F＝1.51W＋1.41 。

(4) 在一条电流线路中于 t℃ 时，电阻为 R(欧姆)，从实验得到表4，求关于 R，t 的经验公式（选用第二、第五组作两点）。

答：R＝0.1t＋25 。[提示：描图时 t 作横轴，每单位长表示 5°，R 作纵轴，每单位长表示 0.5 欧姆，画法参考例2 ]

2、根据下列各题表中所得的数据，描出经验曲线，并用平均值法求出它们的经验公式：

(1) 第1题的(3)(4)两题；

(2) 在实验记录上有

求 x，y 的关系公式。

答：y＝2.62x＋3.98 。

(3) 一密闭的气体在一定压力之下，于 t(°C) 时，它的容积为 V(立方厘米)，实验所得的数据如下表，求 V，t 的关系式。

[提示：作图方法参考上面第1(4)题，通过移轴把 (20，106.5) 作为新原点 ]

3*、

(1) 观察太阳系的八大行星和太阳的距离 D 与每一行星的公转周期 T(年)，得结果如下表，求它们的关系式（这是开普勒第三定律）。〖山注|| 此教材是上世纪六七十年代编写，但定为八大行星，这说明我们目前科普的“1930年发现冥王星，被定为第九大行星”的说法有罢搁，至少上世纪六七十年代，我国科学界就不认可冥王星的“大行星”地位〗

【注】以地球与太阳的距离为 1 个单位长。