【格物致知·代数】5-1-02数列极限的四则运算『微积分初步』
【阅前提示】我在原有“数理化自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第一章极限
§1-2数列极限的四则运算
【01】前面我们看到，一些简单的数列可以从变化趋势找出它们的极限。例如，
。
【02】如果求极限的数列比较复杂，就要分析已知数列是由哪些简单的数列经过怎样的运算结合而成的，这样就能把复杂的数列的极限的计算问题转化为简单的数列的极限的计算问题。因此，下面引人数列极限的四则运算法则（证明从略）：
【03】特别地，如果 C 是常数，那么，
。
【04】上面的数列极限的四则运算法则表明：如果两个数列都有极限，那么，这两个数列的各对应项的和、差、积、商组成的数列的极限，分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（各项作为除数的数列的极限不能为零）。
【05】例如，数列 1/2，2/3，3/4，…，n/(n＋1)… 与 2，2，2，…，2，… 的极限分别是 1 与 2，那么根据上面的运算法则，这两个数列的各对应项的和组成的数列 2＋1/2，2＋2/3，2＋3/4，…，2＋n/(n＋1)，… 的极限是 3 。
例1. 。
【解】
例2.求：
【解】
(2)
(3) 当 n 无限增大时，分式 (2n＋1)／(3n＋2) 中的分不，分母同时无限增大，上面的极限运算法则不能直接运用。为此，我们将分式中的分子、分母同时除以 n 后求它的极限，得
(4)
例3.已知等比数列 1/2，1/4，1/8，…1/2ⁿ…，求这个数列前 n 项的和当 n →0 时的极限。
【解】
这个等比数列的公比是 q＝(1/4)／(1/2)＝1/2 。
根据等比数列前 n 项和的公式，得
。
。
上述结果可从图1·3中看出，图1·3中各小矩形与小正方形面积的和（阴影部分）的极限等于大正方形的面积。
【06】例3中的无穷等比数列有这样的特点：它的公比的绝对值小于 1 。
【07】一般地，设无穷等比数列 a₁，a₁q，a₁q²，…，a₁qⁿ⁻¹，…的公比 q 的绝对值小于 1，我们来求它的前 n 项的和当 n 无限增大时的极限。
【08】无穷等比数列前 n 项的和是
，
【09】因此，
【10】因为当 | q |＜1 时，（证明较繁，本书从略），
【11】所以， 。
【12】公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和（注意：这与有限个数的和从意义上说是不一样的），并且用符号 S 表示。从上面知道，
。
例4.求无穷等比数列 0.3，0.03，0.003，… 各项的和。
【解】
∵ a₁＝0.3，q＝0.1，
∴ S＝0.3／(1－0.1)＝1/3 。
例5.将下列循环小数化成分数： 。
【解】
(1)
可以写成 7/10＋7/100＋7/1000＋……，这里各项组成公比等于 1/10 的无穷等比数列，因此，
。
。
(2)
可以写成 2/10＋31/1000＋31/100000＋31/10000000＋…，这里从第 2 项起各项组成公比等于 1/100 的无穷等比数列，因此，
。
练习
，求下列权限：
2、求下列极限：
3、求下列无穷等比数列各项的和：
(1) 3，1，1/3，1/9，…；
(2) 1，－1/2，1/4，－1/8，…。
习题一
1、已知无穷数列 5＋1，5－1/2，5＋1/3，5－1/4，…。
(1) 把这个数列的前 5 项在数轴上表示出来。
(2) 计算这个数列的第 n 项与 5 的差的绝对值 | an－5 | 。
(3) 对于任何预先指定的正数 ε，找一个自然数 N，使得 n＞N 时，| an－5 |＜ε 。
(4) 确定这个数列的极限。
2、一个无穷数列的通项公式是 an＝(n＋1)／(n＋2) 。
(1) 把这个数列的前 5 项在数轴上表示出来。
(2) 计算 | an－1 | 。
(3) 对于下表中的 ε，各找出一个对应的自然数 N，使得 n＞N 时，| an－1 |＜ε 。
(4) 确定这个数列的极限。
3、一个无穷数列的通项公式是 an＝(8n＋1)／2n 。
(1) 把这个数列的前 5 项在数抽上表示出来。
(2) 计算 | an－4 | 。
(3) 确定这个无穷数列的极限。
4、一个无穷数列的通项公式是 an＝n／(2n＋1)，求证这个数列的数限是 1/2 。
5、举一个极限是 5 的无穷数列的例子。
6、无穷数列－2，0，－2，0，…，(－1)ⁿ－1，…有极限吗？
7、已知无穷数列
(1) 求证这两个数列的极限分别是 5 与 1 。
(2) 另作一个每一项都等于这两个数列的对应项的和的无穷数列。验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。
8、求下列极限：
9、
10、
(1) 如图，在圆的内接正多边形中，rn 是边心距，pn 是周长，Sn 是面积，求证 。
(2) 当圆的内接正多边形的边数无限增加时，rn 的极限是圆的半径 R，pn 的极限是圆周长 2πR，Sn 的极限是圆面积，求证圆面积等于 πR² 。
11、如图，三角形的一条底边是 a，这条边上的高是 h 。
(1) 过高的 5 等分点分别作底边的平行线，并作出相应的 4 个矩形，求这些矩形面积的和。
(2) 把高 n 等分，同样作出 n－1 个矩形，求这些矩形面积的和。
(3) 求证：当 n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积 ah/2 。
12、求下列无穷等比数列各项的和：
13、如图，等边三角形 ABC 的面积等于 1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形面积的和。
14、如图，第 1 个半圆的直径是 3 厘米，第 2 个半圆的直径是 2 厘来，以后每个半圆的直径都是前一个的 2/3，这样无限继续下去，求整条曲线的长。
15、将下列循环小数化成分数：