【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第六章参数方程

§6-3描绘参数方程的图象

【01】从参数方程描它的图象，首先列一个表，就是说在容许值范围内先给参数（如 t）一系列的值，分别计算 x，y 的对应值。对应于同一个 t 值的一组 x，y 的值，作为一个点的坐标，在直角坐标系中定出各点的位置，然后顺次平滑地连结各点，就可描出它的曲线。举例如下：

例1.描绘下面参数方程的图象：

【解】

列表：

这方程的图象如图6·3，它是半立方抛物线（参考2-4节的例5）。

如消去参数，它的普通方程是 y²＝(1/2)x³  。（见上节例1(2)）

例2.作下式的图象：

【解】

列表：

消去参数它的普通式（见上节例1(3)）是 x²/9＋y²/4＝1  。

有些方程，它的轨迹不易描出，但在引进一个参数而化为参数方程后，它的图象会变得容易描绘，见下面例题。

例3.描出方程 x³＋y³－3ay＝0 的轨迹。

【解】

这方程中 x，y 的最高方次都是三次。

令 y＝tx    (1)

代入上式得 x³＋t³x³－3atx²＝0，

就是 x²[(1＋t³)x－3at]＝0  。

除 x＝0，y＝0 外，得

列表：

它的图象叫做柳叶线（图6·5）。

例4.描出方程 y³(2a－x)＝x³ 的轨迹。

【解】

令 y＝tx    (1)

代入原方程得 t²x²(2a－x）＝x³，

即 x²[(1＋t²)x－2at²]＝0  。

除 x＝0，y＝0 外，得

    (2)

列表：

当 t－→±∞，x→2a，同时 y→±∞，它的图象叫做蔓叶线（见图6·6）。

【注】

今作直线 x＋2y－2a＝0    (3)    交蔓叶线于 P，又作 MP 垂直于圆的直径 OA，则以“OM为一边的立方体”是以“MP为一边的立方体”的两倍，因为以(3)式 2a－x＝2y 代入原式得 2y³＝x³；即 x³＝2y³  。

假定 P 点的坐标是 (x₁，y₁)，如图6·6，x₁＝OM，y₁＝MP，即 (OM)³＝2(MP)³  。

假定已知一个立方体的一边是 b，那末拿 MP，OM，b 的第四比例项为一边作立方体，就是原立方体的两倍了。【这是古希腊的一个有名的几何问题，即倍立方体的问题，此题用尺规作图是不可能的，但在解析几何里用高次曲线是容易解决的。现在应用蔓叶线就是一个例子】

【02】在直角坐标系的方程中引入参数化为参数方程时，方法是多种多样的，因此它的参数方程也可有多种形式。怎样得到一个简单而又便于作图的方程，是无一定法则可以遵循的。有时可以先假定 x＝f₁(t)，代入式中求到 y＝f₂(t)，或则令 y＝tx＋k（k 为常数）代入原式求 x＝f₁(t)，再设法求 y＝f₂(t)  。方法很多，不可能一一列举，今只举几个简单例子如下：

例5.化椭圆方程 x²/9＋y²/4＝1 为参数方程。

【解】

第一法：令 x＝cosΦ，

代入原方程，得 cos²Φ＋y²/4＝1，

即 y²/4＝1－cos²Φ＝sin²Φ，

∴ y＝2sinΦ  。（取正号）

由此可得参数方程

    (1)

参数是 Φ，它是椭圆的离心角（参考4-8节）。

第二法：令 y＝tx＋2，    (A)

代入原方程，得 (4＋9t²)x²＋36tx＝0  。

除 x＝0，y＝2 一点外，得

    (2)

（将 x 代入(A)式得到）

这也是椭圆 x²/9＋y²/4＝1 的参数方程，参数是 t  。

例6.化 y＝1＋2x² 为参数方程。

【解】

设 x＝cosΦ，则 y＝1＋2cos²Φ＝2＋(2cos²Φ－1)＝2＋cos2Φ  。

故得参数方程为

【注1】在例5椭圆的参数方程中，(1)式的形式比较整齐，作图虽可避免开平方，但仍须借助三角函数表，(2)式的形式似乎复杂，然而在列表求数值时，不需要开方或查三角函数，有它便利之处。

【注2】在例6中，原式为一抛物线，当 x→±∞ 时，y→∞，就是说曲线在第Ⅰ，第Ⅱ象限伸展至无穷远；但在它的参数方程中，| x | ≤ 1，1 ≤ y ≤ 3，它只是原来曲线的有限一部分（见图6·7实线部分）。

练习

1、描出下列各参数方程的图象（t，Φ 是参数）：

2、根据所给的条件，把下面方程化成参数方程（θ 是参数），并描出它的图象。

4x²＋y²＝16，x＝2cosθ  。

答：y＝4sinθ，椭圆。